Question

設(shè)正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面邊長(zhǎng)為a，點(diǎn)P，Q在A₁C上，點(diǎn)R，S在BC₁上，且四面體PQRS為正四面體，則該正四面體棱長(zhǎng)為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：點(diǎn)、線、面間的距離計(jì)算

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：首先建立空間直角坐標(biāo)系證明異面直線AC₁和B₁C垂直，進(jìn)一步求出該異面直線間的距離，最后利用正四面體的性質(zhì)求出相關(guān)的結(jié)論及正四面體的邊長(zhǎng)．

解答： 解：設(shè)正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面邊長(zhǎng)為a，側(cè)棱長(zhǎng)為

2

2

a，
可利用空間直角坐標(biāo)系：D-XYZ，
則：D（0，0，0），C(0，

a

2

，0)，B(

3

2

a，0，0)，B1(

3

2

a，0，

2

2

a)，A(0，-

a

2

，0)，C1(0，

a

2

，

2

2

a)，
利用向量的數(shù)量積解得：

AC1

•

B1C

=0，
所以異面直線AC₁和B₁C垂直，
且AC₁和B₁C距離為：中點(diǎn)的連線，
根據(jù)中位線定理得：距離長(zhǎng)為

a

2

，
點(diǎn)P，Q在A₁C上，點(diǎn)R，S在BC₁上，且四面體PQRS為正四面體，
根據(jù)四面體得到：MN是異面直線PS和QR之間的距離．
即異面直線AC₁和B₁C之間的距離．
設(shè)正四面體的邊長(zhǎng)為：RS=x，
進(jìn)一步解得：MR=

3

2

x，MS=

1

2

x，
利用勾股定理解得：MN=

2

2

x，
令：

2

2

x=

a

2

，
所以：x=

2

2

a，
即正四面體的邊長(zhǎng)為：

2

2

a，
故答案為：

2

2

a．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)：正三棱柱與正四面體的性質(zhì)，異面直線間的距離，空間直角坐標(biāo)系的應(yīng)用，向量垂直的充要條件及相關(guān)的運(yùn)算問題．