Question

如圖，在棱長為4的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E為BC的中點，點P在線段D₁E上，點P到直線CC₁的距離的最小值為

2 5

5

．

Answer 1

分析：如圖所示，取B₁C₁的中點F，連接EF，ED₁，利用線面平行的性質(zhì)即可得到C₁C∥平面D₁EF，進而得到異面直線D₁E與C₁C的距離．

解答：解：如圖所示，取B₁C₁的中點F，連接EF，ED₁，
∵EF∥CC₁，EF=CC₁，CC₁⊥底面ABCD，
∴四邊形EFC₁C是矩形．
∴CC₁∥EF，
又EF?平面D₁EF，CC₁?平面D₁EF，∴CC₁∥平面D₁EF．
∴直線C₁C上任一點到平面D₁EF的距離是兩條異面直線D₁E與CC₁的距離．
過點C₁作C₁M⊥D₁F，
∵平面D₁EF⊥平面A₁B₁C₁D₁．
∴C₁M⊥平面D₁EF．
過點M作MP∥EF交D₁E于點P，則MP∥C₁C．
取C₁N=MP，連接PN，則四邊形MPNC₁是矩形．
可得NP⊥平面D₁EF，
在Rt△D₁C₁F中，C₁M•D₁F=D₁C₁•C₁F，得C₁M=

2×1

22+12

=

2 5

5

．
∴點P到直線CC₁的距離的最小值為

2 5

5

．
故答案為：

2 5

5

點評：熟練掌握通過線面平行的性質(zhì)即可得到異面直線的距離是解題的關(guān)鍵．