Question

15．定義在R上的偶函數(shù)f（x）滿足f（x+2）=f（x），且在[-3，-2]上是減函數(shù)，若α，β是銳角三角形的兩個內(nèi)角，則（　�。�

• A． f（sinα）＞f（sinβ）
• B． f（sinα）＜f（cosβ）
• C． f（cosα）＜f（cosβ）
• D． f（sinα）＞f（cosβ）

Answer 1

分析 根據(jù)f（x+2）=f（x），所以函數(shù)的周期為2，在[-3，-2]上是減函數(shù)，可得f（x）在[-1，0]上為減函數(shù)，因為f（x）為偶函數(shù)，所以f（x）在[0，1]上為單調(diào)增函數(shù)．在根據(jù)α，β是銳角三角形的兩個內(nèi)角，利用三角函數(shù)誘導公式化簡可得答案．

解答 解：由題意：可知f（x+2）=f（x），
∴f（x）是周期為2的函數(shù)，
∵f（x）在[-3，-2]上為減函數(shù)，
∴f（x）在[-1，0]上為減函數(shù)，
又∵f（x）為偶函數(shù)，根據(jù)偶函數(shù)對稱區(qū)間的單調(diào)性相反，
∴f（x）在[0，1]上為單調(diào)增函數(shù)．
∵在銳角三角形中，π-α-β＜$\frac{π}{2}$
∴π-α-β$＜\frac{π}{2}$，即$π＞α+β＞\frac{π}{2}$，
∴$\frac{π}{2}$＞α＞$\frac{π}{2}$-β＞0，
∴sinα＞sin（$\frac{π}{2}-β$）=cosβ；
∵f（x）在[0，1]上為單調(diào)增函數(shù)．
所以f（sinα）＞f（cosβ），
故選：D．

點評 本題主要考查了函數(shù)的奇偶性和周期性的應用，以及三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，綜合性較強，涉及的知識點較多．屬于中檔題．