Question

已知圓O：x²+y²=1，O為坐標原點，若正方形ABCD的一邊AB為圓O的一條弦，則線段OC長度的最大值是

2

+1

．

Answer 1

分析：設正方形邊長為a，∠OBA=θ，從而在△OBC中，計算OC的長，利用三角函數(shù)，可求OC的最大值．

解答：解：如圖，設正方形邊長為a，∠OBA=θ，則cosθ=

a

2

，θ∈[0，

π

2

）．
在△OBC中，a²+1-2acos（

π

2

+θ）=OC²，
∴OC²=（2cosθ）²+1+2•2cosθ•sinθ=4cos²θ+1+2sin2θ=2cos2θ+2sin2θ+3=2

2

sin（2θ+

π

4

）+3，
∵θ∈[0，

π

2

），
∴2θ+

π

4

∈[

π

4

，

5π

4

），
∴2θ+

π

4

=

π

2

時，OC²的最大值為2

2

+3
∴線段OC長度的最大值是

2

+1
故答案為：

2

+1

點評：本題考查直線與圓的位置關系，考查三角函數(shù)的化簡，解題的關鍵是構(gòu)建OC關于θ的三角函數(shù)，屬于中檔題．