Question

4．已知曲線${C_1}：\left\{\begin{array}{l}x=1+cosθ\\ y=sinθ\end{array}\right.$（θ為參數(shù)），${C_2}：\left\{\begin{array}{l}x=-\frac{{\sqrt{3}}}{2}t\\ y=\frac{{2\sqrt{3}}}{3}+\frac{t}{2}\end{array}\right.$（t為參數(shù)）
（1）曲線C₁，C₂的交點(diǎn)為A，B，求|AB|；
（2）以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，過(guò)極點(diǎn)的直線l₁與C₁交于O，C兩點(diǎn)，與直線ρsinθ=2交于點(diǎn)D，求$\frac{{|{OC}|}}{{|{OD}|}}$的最大值．

Answer 1

分析 （1）方法一：將曲線C₁代入曲線C₂方程，利用韋達(dá)定理及弦長(zhǎng)公式，即可求得|AB|；
方法二：就得曲線C₂的普通方程，求得交點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)三角關(guān)系，即可求得|AB|；
（2）由題意分別求得丨OC丨及丨OD丨根據(jù)二倍角公式，及三角函數(shù)的性質(zhì)即可求得$\frac{{|{OC}|}}{{|{OD}|}}$的最大值．

解答 解：（1）方法一：曲線${C_1}：{（x-1）^2}+{y^2}=1$，${（-\frac{{\sqrt{3}}}{2}t-1）^2}+{（\frac{{2\sqrt{3}}}{3}+\frac{t}{2}）^2}=1，{t^2}+\frac{{5\sqrt{3}}}{3}t+\frac{4}{3}=0$，
由韋達(dá)定理可知：t₁+t₂=-$\frac{5\sqrt{3}}{3}$，t₁t₂=$\frac{4}{3}$，
∴$|{AB}|=|{{t_1}-{t_2}}|=\sqrt{{{（{t_1}+{t_2}）}^2}-4{t_1}{t_2}}=\sqrt{3}$．
法二：C₂為$y=-\frac{{\sqrt{3}}}{3}x+\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$，過(guò)（2，0），C₁過(guò)（2，0），不妨令A(yù)（2，0），
則∠OBA=90，∠OAB=30，
所以$|{AB}|=2×\frac{{\sqrt{3}}}{2}=\sqrt{3}$．
（2）C₁的極坐標(biāo)方程為ρ=2cosθ，令l₁的極角為α，則$|{OD}|={ρ_1}=\frac{2}{sinα}，|{OC}|={ρ_2}=2cosα$，
$\frac{{|{OC}|}}{{|{OD}|}}=sinαcosα=\frac{1}{2}sin2α≤\frac{1}{2}$，
∴當(dāng)$α=\frac{π}{4}$時(shí)取最大值，
$\frac{{|{OC}|}}{{|{OD}|}}$的最大值$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線的參數(shù)方程，考查參數(shù)方程與普通方程的轉(zhuǎn)化，三角函數(shù)的性質(zhì)，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．