Question

7．已知函數(shù)$f（x）=\frac{x}{{{x^2}+1}}+sinx+1$的最大值為M，最小值為m，則M+m=2．

Answer 1

分析 細(xì)分析可以看出，g（x）=$\frac{x}{{x}^{2}+1}$+sinx是一個(gè)奇函數(shù)，則該函數(shù)的最大（�。┲导�1就是原函數(shù)的最大（�。┲�，而奇函數(shù)的最大值與最小值互為相反數(shù)，所以該題即可獲解．

解答 解：令g（x）=$\frac{x}{{x}^{2}+1}$+sinx，則g（-x）=-g（x），
∴g（x）是奇函數(shù)，設(shè)其最大值為M，
則由奇函數(shù)的圖象可知，其最小值為-M，
∴f（x）_min=1-M，f（x）_max=1+M，
∴f（x）_min+f（x）_max=2．
故答案為：2．

點(diǎn)評(píng) 此題沒(méi)有按常規(guī)考查函數(shù)的最值的求法，即利用單調(diào)性，而是在將原函數(shù)變形的基礎(chǔ)上，通過(guò)觀察分析將原函數(shù)的最值轉(zhuǎn)化為一個(gè)奇函數(shù)的最大值、最小值的問(wèn)題，由奇函數(shù)的圖象可得，其最大值、最小值互為相反數(shù)，所以原函數(shù)的最值之和為2．此題有一定難度．