Question

設函數f（x）=

ax2+1

bx+c

是奇函數（a、b、c∈Z），且f（1）=2，f（2）＜3．
（1）求a、b、c的值；
（2）判斷并證明f（x）在[1，+∞]上的單調性．

Answer 1

考點：函數單調性的判斷與證明,函數解析式的求解及常用方法

專題：常規(guī)題型

分析：先由函數f（x）=

ax2+1

bx+c

是奇函數確定整數a，b，c的值，再通過定義法證明函數的單調性．

解答： 解：（1）由題意得，

f(-1)= a+1 -b+c =-2 f(1)= a+1 b+c =2 f(2)= 4a+1 2b+c ＜3 a，b，c∈Z

解得a=1，b=1，c=0．
（2）f（x）在[1，+∞）上單調遞增，證明如下：
任取x₁，x₂∈[1，+∞）；且x₁＜x₂，則
f（x₁）-f（x₂）=

x 2 1 +1

x1

-

x 2 2 +1

x2

=

(x1x2-1)(x1-x2)

x1x2

∵1≤x₁＜x₂，
∴x₁x₂-1＞0，x₁-x₂＜0，x₁x₂＞0
∴f（x₁）-f（x₂）＜0
∴f（x）在[1，+∞）上單調遞增．

點評：本題考查了利用函數的奇偶性求參數的方法，及函數的單調性的判斷與證明．