Question

如圖空間四邊形ABCD，E、F、G、H分別為AB、AD、CB、CD的中點(diǎn)且AC=BD，AC⊥BD，試判斷四邊形EFGH的形狀，并證明．

Answer 1

考點(diǎn)：平行公理

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：由于E、F、G、H分別為AB、AD、CB、CD的中點(diǎn)，利用三角形的中位線定理可證明：四邊形EFGH是平行四邊形．
由AC=BD，BD⊥AC，可證明：EF=EG，EF⊥EG．因此四邊形EFGH是正方形．

解答： 解：四邊形EFGH為正方形．下面給出證明：
∵E、F、G、H分別為AB、AD、CB、CD的中點(diǎn)，
∴EF

∥

.

1

2

BD，GH

∥

.

1

2

BD，
∴EF

∥

.

BD．
∴四邊形EFGH是平行四邊形．
同理可證：EG

∥

.

1

2

AC．
∵AC=BD，BD⊥AC，
∴EF=EG，EF⊥EG．
∴平行四邊形EFGH是正方形．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了三角形的中位線定理、平行四邊形的判定、正方形的判定、異面直線所成的角，考查了推理能力，屬于中檔題．