Question

10．下列函數(shù)中，最小值是4的函數(shù)是（　�。�

• A． y=x+$\frac{4}{x}$
• B． y=sinx+$\frac{4}{sinx}$（0＜x＜π）
• C． y=e^x+4e^-x
• D． $y={log_3}x+\frac{4}{{{{log}_3}x}}$

Answer 1

分析 利用基本不等式的性質(zhì)進(jìn)行判斷即可．

解答 解：對于A：y=x+$\frac{4}{x}$，當(dāng)x＞0時，y=x+$\frac{4}{x}$≥2$\sqrt{4}$=4，當(dāng)且僅當(dāng)x=2時取等號；當(dāng)x＜0時，x+$\frac{4}{x}$=-（x+$\frac{4}{x}$）≥-2$\sqrt{4}$=-4，即y≤-4，當(dāng)且僅當(dāng)x=-2時取等號．∴A不對．
對于B：y=sinx+$\frac{4}{sinx}$$≥2\sqrt{4}=4$（0＜x＜π），當(dāng)且僅當(dāng)sinx=2時取等號．∵sinx的最大值為1，故取不到等，∴B不對．
對于C：y=e^x+4e^-x=e^x+4$\frac{1}{{e}^{x}}$$≥2\sqrt{4}=4$，當(dāng)且僅當(dāng)x=log_e2時取等號．∴C對．
對于D：當(dāng)log₃x＞0時，$y={log_3}x+\frac{4}{{{{log}_3}x}}$$≥2\sqrt{4}=4$，當(dāng)且僅當(dāng)x=9時取等號．當(dāng)log₃x＜0時，$y={log_3}x+\frac{4}{{{{log}_3}x}}$$≤2\sqrt{4}=-4$，即y≤-4，當(dāng)且僅當(dāng)x=$\frac{1}{9}$時取等號．∴D不對．
故選C．

點(diǎn)評 本題考查了基本不等式的性質(zhì)、一元二次不等式的解法，考查了計算能力，屬于基礎(chǔ)題．