Question

19．f（x）是定義在R上可導函數(shù)，且f′（x）＞f（x），則對任意正實數(shù)a，下列成立的是（　�。�

• A． f（a）＜$\frac{f（0）}{{e}^{ax}}$
• B． f（a）＞$\frac{f（0）}{{e}^{a}}$
• C． f（a）＜e^af（0）
• D． f（a）＞e^af（0）

Answer 1

分析 根據(jù)選項令g（x）=$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$，可以對其進行求導，根據(jù)已知條件f′（x）＞f（x），可以證明g（x）為增函數(shù)，可以推出g（a）＞g（0），再對選項進行判斷．

解答 解：∵f（x）是定義在R上的可導函數(shù)，
∴可以令g（x）=$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$，
∴g′（x）=$\frac{f′（x）-f（x）}{{e}^{x}}$，
∵f′（x）＞f（x），e^x＞0，
∴g′（x）＞0，
∴g（x）為增函數(shù)，
∵正數(shù)a＞0，
∴g（a）＞g（0），
∴$\frac{f（a）}{{e}^{a}}$＞$\frac{f（0）}{{e}^{0}}$=f（0），
∴f（a）＞e^af（0），
故選：D．

點評 此題主要考查利用導數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性，此題要根據(jù)已知選項構(gòu)造特殊函數(shù)，是一道中檔題．