Question

6．（1）已知e^x≥ax+1，對?x≥0恒成立，求a的取值范圍；
（2）已知e^-f（x）=1-e^-x，0＜x＜m，求證f（x）＜$\frac{m}{2}$．

Answer 1

分析 （1）令f（x）=e^x-ax-1（x≥0），求得導(dǎo)數(shù)，判斷單調(diào)性，即可得到a的范圍；
（2）運(yùn)用分析法，可得f（x）＜$\frac{m}{2}$，即證-ln（1-e^-x）＜$\frac{m}{2}$，即證1-e^-x＞-$\frac{m}{2}$，即為e^-x＜1+$\frac{m}{2}$，由x的范圍，運(yùn)用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，即可得證．

解答 （1）解：令f（x）=e^x-ax-1（x≥0），
f′（x）=e^x-a，
當(dāng)x≥0時(shí)，e^x≥1，若a≤1，則
f′（x）≥0，f（x）在[0，+∞）遞增，
即有f（x）≥f（0）=0，
即e^x≥ax+1，對?x≥0恒成立，
若a＞1，則f（x）不單調(diào)，不滿足題意．
綜上可得，a的取值范圍是（-∞，1]．
（2）證明：e^-f（x）=1-e^-x，0＜x＜m，
即有f（x）=-ln（1-e^-x），
要證f（x）＜$\frac{m}{2}$，即證-ln（1-e^-x）＜$\frac{m}{2}$，
即證1-e^-x＞-$\frac{m}{2}$，即為e^-x＜1+$\frac{m}{2}$，
由0＜x＜m，可得e^-m＜e^-x＜1，
由m＞0，1+$\frac{m}{2}$＞1＞e^-x成立．
故不等式f（x）＜$\frac{m}{2}$．

點(diǎn)評 本題考查不等式的恒成立和證明問題的解法，考查參數(shù)分離和分析法證明不等式的方法，考查運(yùn)算能力和推理能力，屬于中檔題．