Question

設f（x）是定義在R上的不恒為零的函數(shù)，且對于任意的a，b∈R滿足f（ab）-af（b）=bf（a），f（3）=3，a_n=

f(3n)

3n

，b_n=

f(3n)

n

，n∈N^*．有下列結論：
①f（

1

3

）=

1

3

；②f（x）為奇函數(shù)；③a₂=-2；④b₂=9．
其中正確的是（　�。�

• A、①②③
• B、③④
• C、①③
• D、②④

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應用

專題：函數(shù)的性質及應用,推理和證明

分析：①令a=b=1，求出f（1）=0，令a=3、b=

1

3

，求出f（

1

3

）的值；
②求出f（-1）=f（1）=0，得出f（-x）=-f（x），即f（x）是奇函數(shù)；
③求出a₂的值；
④求出b₂的值．

解答： 解：對于①，取a=b=1時，得f（1）=0，取a=3、b=

1

3

時，得f（1）-3f（

1

3

）=

1

3

f（3）=

1

3

×3=1，
∴f（

1

3

）=-

1

3

，①錯誤；
對于②，∵f（1）-（-1）f（-1）=-f（-1），∴f（-1）=0，
∴f（-x）=-f（x）+xf（-1）=-f（x），f（x）是R上的奇函數(shù)，∴②正確；
對于③，∵f（ab）-af（b）=bf（a），且a_n=

f(3n)

3n

，
∴a₂=

f(32)

32

=

f(3×3)

9

=

3f(3)+3f(3)

9

=

3×3+3×3

9

=2，∴③錯誤；
對于④，∵b_n=

f(3n)

n

，∴b₂=

f(32)

2

=

f(3×3)

2

=

3×3+3×3

2

=9，∴④正確．
綜上，正確的是②④．
故選：D．

點評：本題考查了函數(shù)與遞推公式的綜合應用問題，也考查了命題真假的判斷問題和邏輯推理能力，是綜合題目．