Question

已知S_n為數(shù)列{a_n}的前n項和，且有a₁=1，S_n+1=a_n+1（n∈N^*）．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項a_n；
（2）若b_n=

n

4an

，求數(shù)列{b_n}的前n項和T_n；
（3）設c_k=

k+2

Sk(Tk+k+1)

，{c_k}的前n項和為A_n，是否存在最小正整數(shù)m，使得不等式A_n＜m對任意正整數(shù)n恒成立？若存在，求出m的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）在數(shù)列遞推式中取n=n-1得另一遞推式，作差后即可證得數(shù)列為等比數(shù)列，代入等比數(shù)列的通項公式得答案；
（2）把數(shù)列{a_n}的通項代入b_n=

n

4an

，然后利用錯位相減法求數(shù)列{b_n}的前n項和T_n；
（3）把S_k，T_k代入c_k=

k+2

Sk(Tk+k+1)

，整理后利用裂項相消法化簡，放縮后可證得數(shù)列不等式．

解答： （1）當n=1時，a₂=S₁+1=a₁+1=2；
當n≥2時，S_n+1=a_n+1，S_n-1+1=a_n，相減得a_n+1=2a_n，
又a₂=2a₁，
{a_n}是首項為1，公比為2的等比數(shù)列，
∴an=2n-1；
（2）由（1）知an=2n-1，
∴bn=

n

4an

=

n

4•2n-1

=

n

2n+1

，
∴Tn=

1

22

+

2

23

+

3

24

+…+

n

2n+1

，

1

2

Tn=

1

23

+

2

24

+…+

n-1

2n+1

+

n

2n+2

，
兩式相減得

1

2

Tn=

1

22

+

1

23

+…+

1

2n+1

-

n

2n+2

=

1 22 (1- 1 2n )

1- 1 2

-

n

2n+2

=

1

2

-

n+2

2n+2

，
∴Tn=1-

n+2

2n+1

；
（3）C_K=

k+2

Sk(Tk+k+1)

=

k+2

(2k-1)(1- k+2 2k+1 +k+1)

=

1

(2k-1)(1- 1 2k+1 )

=

2k+1

(2k-1)(2k+1-1)

=2(

1

2k-1

-

1

2k+1-1

)．
∴

n

k=1

k+2

Sk•(Tk+k+1)

=

n

k=1

2(

1

2k-1

-

1

2k+1-1

)=2(1-

1

2k+1-1

)＜2．
若不等式∴

n

k=1

k+2

Sk•(Tk+k+1)

＜m對任意正整數(shù)n恒成立，則m≥2，
∴存在最小正整數(shù)m=2，使不等式∴

n

k=1

k+2

Sk•(Tk+k+1)

＜m對任意正整數(shù)n恒成立．…（14分）

點評：本題考查了等比關系的確定，考查了裂項相消法與錯位相減法求數(shù)列的和，訓練了放縮法證明數(shù)列不等式，是壓軸題．