Question

8．已知數(shù)列{a_n}中，a₃=5，a₅+a₆=20，且2${\;}^{{a}_{n}}$，2${\;}^{{a}_{n+1}}$，2${\;}^{{a}_{n+2}}$成等比數(shù)列，數(shù)列{b_n}滿足b_n=a_n-（-1）ⁿn．
（Ⅰ）求數(shù)列{b_n}的通項公式；
（Ⅱ）設(shè)s_n是數(shù)列{b_n}前n項和，求s_n．

Answer 1

分析 （I）由2${\;}^{{a}_{n}}$，2${\;}^{{a}_{n+1}}$，2${\;}^{{a}_{n+2}}$成等比數(shù)列，可得$（{2}^{{a}_{n+1}}）^{2}$=2${\;}^{{a}_{n}}$•2${\;}^{{a}_{n+2}}$，可得2a_n+1=a_n+a_n+2．利用等差數(shù)列的通項公式可得a_n，進(jìn)而得出b_n．
（II）利用“錯位相減法”、等差數(shù)列等比數(shù)列的求和公式即可得出．

解答 解：（I）∵2${\;}^{{a}_{n}}$，2${\;}^{{a}_{n+1}}$，2${\;}^{{a}_{n+2}}$成等比數(shù)列，∴$（{2}^{{a}_{n+1}}）^{2}$=2${\;}^{{a}_{n}}$•2${\;}^{{a}_{n+2}}$，∴2a_n+1=a_n+a_n+2．
∴數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列，設(shè)公差為d，∵a₃=5，a₅+a₆=20，
∴a₁+2d=5，2a₁+9d=20，
解得a₁=1，d=2．
∴a_n=1+2（n-1）=2n-1．
∴b_n=a_n-（-1）ⁿn=（2n-1）-（-1）ⁿn．
（II）設(shè)數(shù)列{-（-1）ⁿn}的前n項和為T_n，
則T_n=-1+2-3+…+（-1）ⁿn．
∴-T_n=1-2+3+…+（-1）ⁿ（n-1）+（-1）ⁿ⁺¹n，
∴2T_n=-1+1-1+…+（-1）ⁿ-（-1）ⁿ⁺¹n=$\frac{-[1-（-1）^{n}]}{1-（-1）}$-（-1）ⁿ⁺¹n，
∴T_n=$\frac{（-1）^{n}-1}{4}$+$\frac{（-1）^{n}n}{2}$．
∴S_n=$\frac{n（1+2n-1）}{2}$-$\frac{（-1）^{n}-1}{4}$-$\frac{（-1）^{n}n}{2}$=n²-n-$\frac{（-1）^{n}-1}{4}$-$\frac{（-1）^{n}n}{2}$．

點(diǎn)評 本題考查了“錯位相減法”、等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式與求和公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．