Question

14．在區(qū)間[0，2]上任取兩個(gè)實(shí)數(shù)a，b，則函數(shù)f（x）=x²+ax-$\frac{1}{4}$b²+1在R上沒有零點(diǎn)的概率是（　�。�

• A． $\frac{π}{8}$
• B． $\frac{4-π}{4}$
• C． $\frac{4-π}{8}$
• D． $\frac{π}{4}$

Answer 1

分析 結(jié)合一元二次函數(shù)的性質(zhì)求出函數(shù)在區(qū)間（-1，1）沒有零點(diǎn)的等價(jià)條件，利用幾何概型的概率公式即可得到結(jié)論

解答 解：在區(qū)間[0，2]上任取兩個(gè)數(shù)a，b，
則$\left\{\begin{array}{l}{0≤a≤2}\\{0≤b≤2}\end{array}\right.$，對應(yīng)的平面區(qū)域?yàn)檫呴L為2的正方形，面積為2×2=4，
∴要使函數(shù)f（x）=x²+ax-$\frac{1}{4}$b²+1在R沒有零點(diǎn)，則$△={a}^{2}-4（-\frac{1}{4}^{2}+1）={a}^{2}+^{2}-4＜0$，即a²+b²＜4，
作出不等式對應(yīng)的平面區(qū)域如圖：（陰影部分），
對應(yīng)的面積S=$\frac{1}{4}×πx{2}^{2}=π$，
則對應(yīng)的概率P=$\frac{π}{4}$；
故選：D．

點(diǎn)評 本題主要考查幾何概型的概率計(jì)算，根據(jù)函數(shù)沒有零點(diǎn)的等價(jià)條件求出a，b的區(qū)域是解決本題的關(guān)鍵．利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的突破．