Question

11．已知函數(shù)f（x）=lnx+$\frac{1-x}{ax}$．
（Ⅰ）若函數(shù)f（x）在[1，+∞）上為增函數(shù)，求正實數(shù)a的取值范圍；
（Ⅱ）當a=1時，函數(shù)g（x）=f（x）-m在[$\frac{1}{2}$，2]上有兩個零點，求實數(shù)m的取值范圍；
（Ⅲ）當a=1時，求證：對大于1的任意正整數(shù)n，$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{n}$＜lnn恒成立．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先求導，函數(shù)f（x）在[1，+∞）上為增函數(shù)，則f′（x）≥0，在[1，+∞）上恒成立；
（Ⅱ）根據(jù)函數(shù)零點存在定理，利用導數(shù)求出函數(shù)的在[$\frac{1}{2}$，2]上的極值和最值，即可得到結(jié)論；
（Ⅲ）先判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性，令令$x=\frac{n}{n-1}$，代入函數(shù)f（x）根據(jù)單調(diào)性得到不等式以$ln\frac{n}{n-1}＞\frac{1}{n}$，令n=1，2，…代入可證．

解答 解：（I）因為  $f（x）=lnx+\frac{1-x}{ax}$，
所以$f'（x）=\frac{ax-1}{{a{x^2}}}（a＞0）$，
依題意可得，對$?x∈[1，+∞）．f'（x）=\frac{ax-1}{{a{x^2}}}≥0$恒成立，
所以對?x∈[1，+∞），ax-1≥0恒成立，
所以對$?x∈[1，+∞），a≥\frac{1}{x}$恒成立，
$a≥{（\frac{1}{x}）_{max}}$，
即a≥1；
（Ⅱ）函數(shù)g（x）=f（x）-m在$[\frac{1}{2}，2]$上有兩個零點，即f（x）=m在$[\frac{1}{2}，2]$上有兩個不同的實數(shù)根，即函數(shù)y=f（x）的圖象與直線y=m在$[\frac{1}{2}，2]$上有兩個零點．
當a=1時，$f'（x）=\frac{x-1}{x^2}$，若$x∈[\frac{1}{2}，1]$，f'（x）≤0，f（x）單調(diào)遞減；
若x∈[1，2]．f'（x）≥0，f（x）單調(diào)遞增；
故f（x）在x=1處取得極小值，即最小值f（1）=0
又$f（\frac{1}{2}）=1-ln2，f（2）=ln2-\frac{1}{2}$，$f（\frac{1}{2}）-f（2）=\frac{3}{2}-2ln2=\frac{{ln{e^3}-ln16}}{2}＞0$，
所以要使直線y=b與函數(shù)y=f（x）的圖象在$[\frac{1}{2}，2]$上有兩個不同交點，實數(shù)m的取值范圍為（f（1），f（2）]，
即實數(shù)m的取值范圍為（$0，ln2-\frac{1}{2}]$；   
（Ⅲ）當a=1時，由（1）可知，$f（x）=lnx+\frac{1-x}{x}$在[1，+∞）上為增函數(shù)，
當n＞1時，令$x=\frac{n}{n-1}$，則x＞1，
故f（x）＞f（1）=0，
即$f（\frac{n}{n-1}）=ln\frac{n}{n-1}+\frac{{1-\frac{n}{n-1}}}{{\frac{n}{n-1}}}=ln\frac{n}{n-1}-\frac{1}{n}＞0$，
所以$ln\frac{n}{n-1}＞\frac{1}{n}$．
故 $ln\frac{2}{1}＞\frac{1}{2}，ln\frac{3}{2}＞\frac{1}{3}，ln\frac{4}{3}＞\frac{1}{4}，…，ln\frac{n}{n-1}＞\frac{1}{n}$
相加可得$ln\frac{2}{1}+ln\frac{3}{2}+ln\frac{4}{3}+…+ln\frac{n}{n-1}＞\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+…+\frac{1}{n}$
又因為$ln\frac{2}{1}+ln\frac{3}{2}+ln\frac{4}{3}+…+ln\frac{n}{n-1}=ln（\frac{2}{1}•\frac{3}{2}•\frac{4}{3}…\frac{n}{n-1}）=lnn$
所以，對大于1的任意正整數(shù)$n，lnn＞\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+…+\frac{1}{n}$恒成立．

點評 本題主要考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的極值，以及函數(shù)的零點等有關基礎知識，考查運算求解能力、推理論證能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想，屬于難題