Question

19．已知函數(shù)f（x）=（x-2）e^x和g（x）=kx³-x-2．
（1）若函數(shù)g（x）在區(qū)間（1，2）不單調(diào)，求實(shí)數(shù)k的取值范圍；
（2）當(dāng)x∈[1，+∞）時(shí)，不等式f（x）≥g（x）+x+2恒成立，求實(shí)數(shù)k的最大值．

Answer 1

分析 （1）求出g'（x）=3kx²-1，通過(guò)①當(dāng)k≤0時(shí)，②當(dāng)k＞0時(shí)，函數(shù)g（x）在區(qū)間（1，2）不單調(diào)，判斷導(dǎo)數(shù)的符號(hào)，得到函數(shù)有極值，即可求k的取值范圍；
（2）由已知k≤$\frac{（x-2）{e}^{x}}{{x}^{3}}$，令h（x）=$\frac{（x-2）{e}^{x}}{{x}^{3}}$，判斷函數(shù)的單調(diào)性，以及函數(shù)的最值，即可求出k的最大值．

解答 解：（1）g'（x）=3kx²-1…（1分）
①當(dāng)k≤0時(shí)，g'（x）=3kx²-1≤0，所以g（x）在（1，2）單調(diào)遞減，不滿足題意；…（2分）
②當(dāng)k＞0時(shí)，g（x）在（0，$\sqrt{\frac{1}{3k}}$）上單調(diào)遞減，在（$\sqrt{\frac{1}{3k}}$，+∞）上單調(diào)遞增，
因?yàn)楹瘮?shù)g（x）在區(qū)間（1，2）不單調(diào)，所以1＜$\sqrt{\frac{1}{3k}}$＜2，解得$\frac{1}{12}$＜k＜$\frac{1}{3}$…（4分）
綜上k的取值范圍是$\frac{1}{12}$＜k＜$\frac{1}{3}$．…（5分）
（2）由已知k≤$\frac{（x-2）{e}^{x}}{{x}^{3}}$，
令h（x）=$\frac{（x-2）{e}^{x}}{{x}^{3}}$，則h′（x）=$\frac{（{x}^{2}-4x+6）{e}^{x}}{{x}^{4}}$＞0，
∴h（x）在x∈[1，+∞）單調(diào)遞增，
∴h（x）_min=h（1）=-e
∴k≤-e，
∴k的最大值為-e．．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，構(gòu)造法以及轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，同時(shí)考查分類討論思想的應(yīng)用，考查分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力．