【題目】如圖,在平面直角坐標系xOy中,橢圓C: (a>b>0)的離心率為,且過點(1,).過橢圓C的左頂點A作直線交橢圓C于另一點P,交直線l:x=m(m>a)于點M.已知點B(1,0),直線PB交l于點N.
(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)若MB是線段PN的垂直平分線,求實數(shù)m的值.
【答案】(1)+y2=1(2)
【解析】試題分析:(1)根據題意列出關于 、 、的方程組,結合性質 , ,求出 、 、,即可得結果;(2)設,則,所以.可得直線的方程為,根據可得,解方程即可得結果.
試題解析:(1)因為橢圓C的離心率為,所以a2=4b2.
又因為橢圓C過點(1,),所以+=1,
解得a2=4,b2=1.
所以橢圓C的方程為+y2=1.
(2)解法1
設P(x0,y0),-2<x0<2, x0≠1,則+y02=1.
因為MB是PN的垂直平分線,所以P關于B的對稱點N(2-x0,-y0),
所以2-x0=m.
由A(-2,0),P(x0,y0),可得直線AP的方程為y= (x+2),
令x=m,得y=,即M(m,).
因為PB⊥MB,所以kPB·kMB=-1,
所以kPB·kMB=·=-1,
即=-1.
因為+y02=1.所以=1.
因為x0=2-m ,所以化簡得3m2-10m+4=0,
解得m=.
因為m>2,所以m=.
解法2
①當AP的斜率不存在或為0時,不滿足條件.
②設AP斜率為k,則AP:y=k(x+2),
聯(lián)立消去y得(4k2+1)x2+16k2x+16k2-4=0.
因為xA=-2,所以xP=,所以yP=,
所以P(,).
因為PN的中點為B,所以m=2-=.(*)
因為AP交直線l于點M,所以M(m,k(m+2)),
因為直線PB與x軸不垂直,所以≠1,即k2≠,
所以kPB==,kMB=.
因為PB⊥MB,所以kPB·kMB=-1,
所以·=-1.(**)
將(*)代入(**),化簡得48k4-32k2+1=0,
解得k2=,所以m==.
又因為m>2,所以m=.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知集合A={x|m+1≤x≤2m﹣1},B={x|x<﹣2或x>5}
(1)若AB,求實數(shù)m的取值范圍的集合;
(2)若A∩B=,求實數(shù)m的取值范圍的集合.
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【題目】甲廠根據以往的生產銷售經驗得到下面有關生產銷售的統(tǒng)計規(guī)律:每生產產品x(百臺),其總成本為G(x)(萬元),其中固定成本為3萬元,并且每生產1百臺的生產成本為1萬元(總成本=固定成本+生產成本),銷售收入R(x)= ,假定該產品產銷平衡(即生產的產品都能賣掉),根據上述統(tǒng)計規(guī)律,請完成下列問題:
(1)寫出利潤函數(shù)y=f(x)的解析式(利潤=銷售收入﹣總成本);
(2)甲廠生產多少臺新產品時,可使盈利最多?
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【題目】已知集合A=[2,log2t],集合B={x|y= },
(1)對于區(qū)間[a,b],定義此區(qū)間的“長度”為b﹣a,若A的區(qū)間“長度”為3,試求實數(shù)t的值.
(2)若AB,試求實數(shù)t的取值范圍.
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【題目】
袋中有形狀和大小完全相同的四種不同顏色的小球,每種顏色的小球各有4個,分別編號為1,2,3,4.現(xiàn)從袋中隨機取兩個球.
(Ⅰ)若兩個球顏色不同,求不同取法的種數(shù);
(Ⅱ)在(1)的條件下,記兩球編號的差的絕對值為隨機變量X,求隨機變量X的概率分布與數(shù)學期望.
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【題目】下列命題錯誤的是( )
A.命題“若x2﹣3x+2=0,則x=1”的逆否命題為“若x≠1,則x2﹣3x+2≠0”
B.若p∧q為假命題,則p,q均為假命題
C.對命題P:存在x∈R,使得x2+x+1<0,則¬p為:任意x∈R,均有x2+x+1≥0
D.“x>2”是“x2﹣3x+2>0”的充分不必要條件
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【題目】(本題滿分12分) 已知集合在平面直角坐標系中,點M的坐標為(x,y) ,其中。
(1)求點M不在x軸上的概率;
(2)求點M正好落在區(qū)域上的概率。
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【題目】已知橢圓C: =1(a>b>0)過點A(﹣ , ),離心率為 ,點F1 , F2分別為其左右焦點.
(1)求橢圓C的標準方程;
(2)若y2=4x上存在兩個點M,N,橢圓上有兩個點P,Q滿足,M,N,F(xiàn)2三點共線,P,Q,F(xiàn)2三點共線,且PQ⊥MN.求四邊形PMQN面積的最小值.
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