Question

13．已知函數(shù)f（x）=alnx+$\frac{1}{x}$（a∈R）．
（Ⅰ）當(dāng)a=2時(shí)，求曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程；
（Ⅱ）如果函數(shù)g（x）=f（x）-2x在（0，+∞）上單調(diào)遞減，求a的取值范圍；
（Ⅲ）當(dāng)a＞0時(shí)，討論函數(shù)y=f（x）零點(diǎn)的個(gè)數(shù)．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出當(dāng)a=2時(shí)的f（x）解析式，求出導(dǎo)數(shù)，求得切線的斜率和切點(diǎn)，由點(diǎn)斜式方程即可得到切線方程；
（Ⅱ）由g（x）=f（x）-2x在（0，+∞）上單調(diào)遞減，等價(jià)于$g'（x）=\frac{a}{x}-\frac{1}{x^2}-2≤0$在（0，+∞）恒成立，變形得$a≤2x+\frac{1}{x}$（x＞0）恒成立，運(yùn)用基本不等式求得右邊的最小值，即可得到a的范圍；
（Ⅲ）求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，求得單調(diào)區(qū)間和極小值，也為最小值，討論最小值的符號(hào)，對(duì)a討論，當(dāng)0＜a＜e時(shí)，當(dāng)a=e時(shí)，當(dāng)a＞e時(shí)，討論函數(shù)的單調(diào)性，即可判斷零點(diǎn)的個(gè)數(shù)．

解答 解：（Ⅰ）當(dāng)a=2時(shí)，$f（x）=2lnx+\frac{1}{x}$，f（1）=1，
即有$f'（x）=\frac{2}{x}-\frac{1}{x^2}$，f'（1）=1．
則切線方程為y-1=x-1，
即為x-y=0；                                    
（Ⅱ）由g（x）=f（x）-2x在（0，+∞）上單調(diào)遞減，
等價(jià)于$g'（x）=\frac{a}{x}-\frac{1}{x^2}-2≤0$在（0，+∞）恒成立，
變形得$a≤2x+\frac{1}{x}$（x＞0）恒成立，
而$2x+\frac{1}{x}≥2\sqrt{2x•\frac{1}{x}}=2\sqrt{2}$，
（當(dāng)且僅當(dāng)$2x=\frac{1}{x}$，即$x=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$時(shí)，等號(hào)成立）．
則有$a≤2\sqrt{2}$．                                            
（Ⅲ）$f'（x）=\frac{ax-1}{x^2}$．
令f'（x）=0，得$x=\frac{1}{a}$．

x	$（0，\frac{1}{a}）$	$\frac{1}{a}$	$（\frac{1}{a}，+∞）$
f'（x）	-	0	+
f（x）	↘	極小值	↗

即有$f{（x）_{min}}=f（\frac{1}{a}）$=$aln\frac{1}{a}+a=a（1-lna）$．
（�。┊�(dāng)0＜a＜e時(shí)，f（x）_min＞0，即有f（x）在定義域內(nèi)無(wú)零點(diǎn)；
（ⅱ）當(dāng)a=e時(shí)，f（x）_min=0，則f（x）在定義域內(nèi)有唯一的零點(diǎn)；
（ⅲ）當(dāng)a＞e時(shí)，f（x）_min＜0，
①由f（1）=1＞0，所以f（x）在增區(qū)間$（\frac{1}{a}，+∞）$內(nèi)有唯一零點(diǎn)；
②$f（\frac{1}{a^2}）=a（a-2lna）$，
設(shè)h（a）=a-2lna，則$h'（a）=1-\frac{2}{a}$，
因?yàn)閍＞e，所以h'（a）＞0，即h（a）在（e，+∞）上單調(diào)遞增，
即有h（a）＞h（e）＞0，即$f（\frac{1}{a^2}）＞0$，所以f（x）在減區(qū)間$（0，\frac{1}{a}）$內(nèi)有唯一的零點(diǎn)．
則a＞e時(shí)f（x）在定義域內(nèi)有兩個(gè)零點(diǎn)．
綜上所述：當(dāng)0＜a＜e時(shí)，f（x）在定義域內(nèi)無(wú)零點(diǎn)；
當(dāng)a=e時(shí)，f（x）在定義域內(nèi)有唯一的零點(diǎn)；
當(dāng)a＞e時(shí)，f（x）在定義域內(nèi)有兩個(gè)零點(diǎn)．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線方程和求單調(diào)區(qū)間、極值，同時(shí)考查單調(diào)性的運(yùn)用和函數(shù)的零點(diǎn)的判斷，運(yùn)用參數(shù)分離和分類討論的思想方法是解題的關(guān)鍵．