Question

6．在三棱錐D-ABC中，∠DAC=∠BAC=60°，AC=1，BA=2，AD=3，AC⊥BC，
（1）求$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{BD}$之值，并說明AC與BD所成的角θ，隨BD長度增大，如何變化？
（2）判斷點D在平面ABC上的射影是否可能在BC上，為什么？

Answer 1

分析 （1）將$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{BD}$轉(zhuǎn)化為$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{AB}$計算即可，再根據(jù)向量積與余弦函數(shù)的單調(diào)性可知隨BD長度增大，θ也增大．
（2）反證法，假設(shè)點D在平面ABC上的射影在BC上，則有$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{BD}$=0，這與$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{BD}$=$\frac{1}{2}$矛盾，故不可能在BC上．

解答 解：（1）$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{BD}$=$\overrightarrow{AC}•（\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB}）$
=$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{AB}$
=$|\begin{array}{l}{\overrightarrow{AC}}\end{array}||\begin{array}{l}{\overrightarrow{AD}}\end{array}|cos＜\overrightarrow{AC}，\overrightarrow{AD}＞$-$|\begin{array}{l}{\overrightarrow{AC}}\end{array}||\begin{array}{l}{\overrightarrow{AB}}\end{array}|cos＜\overrightarrow{AC}，\overrightarrow{AB}＞$
=$1×3×\frac{1}{2}-1×2×\frac{1}{2}$
=$\frac{1}{2}$；
又$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{BD}=|\begin{array}{l}{\overrightarrow{AC}}\end{array}||\begin{array}{l}{\overrightarrow{BD}}\end{array}|cosθ$，AC=1，
所以cosθ=$\frac{1}{2|\begin{array}{l}{\overrightarrow{BD}}\end{array}|}$，
因為0≤θ≤π，y=cosθ在[0，π]上單調(diào)遞減，
所以隨BD長度增大，cosθ減小，故θ增大．
（2）不可能．
證明：假設(shè)點D在平面ABC上的射影在BC上，
則有AC⊥BD，
從而有$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{BD}$=0，這與$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{BD}$=$\frac{1}{2}$矛盾，
所以點D在平面ABC上的射影不可能在BC上．

點評 本題考查向量積的運算及其幾何意義，以及反證法，屬中檔題．