Question

5．已知點(diǎn)F₁，F(xiàn)₂是雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左、右兩焦點(diǎn)，若雙曲線左支上存在點(diǎn)P與點(diǎn)F₂關(guān)于直線y=$\frac{a}$x對(duì)稱，則雙曲線的離心率為（　　）

• A． $\sqrt{2}$
• B． $\frac{\sqrt{5}}{2}$
• C． 2
• D． $\sqrt{5}$

Answer 1

分析 求出過焦點(diǎn)F且垂直漸近線的直線方程，聯(lián)立漸近線方程，解方程組可得對(duì)稱中心的點(diǎn)的坐標(biāo)，代入雙曲線方程結(jié)合a²+b²=c²，由離心率公式解出e即得．

解答 解：過焦點(diǎn)F且垂直漸近線的直線方程為：y-0=-$\frac{a}$（x-c），
聯(lián)立漸近線方程y=$\frac{a}$x與y-0=-$\frac{a}$（x-c），
解之可得x=$\frac{{a}^{2}}{c}$，y=$\frac{ab}{c}$
故對(duì)稱中心的點(diǎn)坐標(biāo)為（$\frac{{a}^{2}}{c}$，$\frac{ab}{c}$），
由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為（$\frac{2{a}^{2}}{c}$-c，$\frac{2ab}{c}$），
將其代入雙曲線的方程可得$\frac{（2{a}^{2}-{c}^{2}）^{2}}{{a}^{2}{c}^{2}}$-$\frac{4{a}^{2}^{2}}{^{2}{c}^{2}}$=1，
結(jié)合a²+b²=c²，
化簡(jiǎn)可得c²=5a²，故可得e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{5}$．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)，涉及離心率的求解和對(duì)稱問題，屬中檔題．