Question

經(jīng)過(guò)點(diǎn)，傾斜角為的直線，與曲線：（為參數(shù)）相交于兩點(diǎn)．

（1）寫(xiě)出直線的參數(shù)方程，并求當(dāng)時(shí)弦的長(zhǎng)；

（2）當(dāng)恰為的中點(diǎn)時(shí)，求直線的方程；

（3）當(dāng)時(shí)，求直線的方程；

（4）當(dāng)變化時(shí)，求弦的中點(diǎn)的軌跡方程．

 

Answer 1

(1);(2);(3)或

（4）

【解析】

試題分析：(1)將參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)系下的普通方程；掌握常見(jiàn)的將參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)系下的普通方程;(2)解決直線和曲線的綜合問(wèn)題：第一步：根據(jù)題意設(shè)直線方程，有的題設(shè)條件已知點(diǎn)，而斜率未知；有的題設(shè)條件已知斜率，點(diǎn)不定，可由點(diǎn)斜式設(shè)直線方程.第二步：聯(lián)立方程：把所設(shè)直線方程與曲線的方程聯(lián)立，消去一個(gè)元，得到一個(gè)一元二次方程.第三步：求解判別式：計(jì)算一元二次方程根.第四步：寫(xiě)出根與系數(shù)的關(guān)系.第五步：根據(jù)題設(shè)條件求解問(wèn)題中結(jié)論.（4）根據(jù)題意設(shè)點(diǎn)根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式.

試題解析：【解析】
（1）的參數(shù)方程（為參數(shù)）． 1分

曲線化為：，將直線參數(shù)方程的代入，得

∵恒成立， 3分

∴方程必有相異兩實(shí)根，且，．

∴

∴當(dāng)時(shí)，． 5分

（2）由為中點(diǎn)，可知，

∴，

故直線的方程為． 7分

（3）∵，得

∴,

∴或

故直線的方程為或 9分

（4）∵中點(diǎn)對(duì)應(yīng)參數(shù)

∴（ 參數(shù) ），消去，得

弦的中點(diǎn)的軌跡方程為；

軌跡是以為圓心，為半徑的圓． 10分

考點(diǎn)：（1）求弦長(zhǎng)問(wèn)題；（2）求直線方程；（3）中點(diǎn)弦的軌跡方程.