Question

10．若存在x₀∈R，使ax₀²+2x₀+a＜0，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是a＜1．

Answer 1

分析 寫出命題：存在x₀∈R，使a${{x}_{0}}^{2}$+2x₀+a＜0的否定，求出對(duì)命題的否定成立時(shí)a的范圍，
再求該命題成立時(shí)a的取值范圍．

解答 解：命題：存在x₀∈R，使a${{x}_{0}}^{2}$+2x₀+a＜0的否定為：
對(duì)任意x∈R，都有ax²+2x+a≥0恒成立；
先求對(duì)任意x∈R，都有ax²+2x+a≥0恒成立時(shí)a的范圍：
①當(dāng)a=0時(shí)，該不等式化為2x≥0，即x≥0，不合題意；
②當(dāng)a≠0時(shí)，有$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{△{=2}^{2}-{4a}^{2}≤0}\end{array}\right.$，解得a≥1，
由①②得a的范圍是：a≥1；
所以，存在x₀∈R，使a${{x}_{0}}^{2}$+2x₀+a＜0時(shí)a的取值范圍是：a＜1．
故答案為：a＜1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了命題與命題的否定的應(yīng)用問題，也考查了一元二次不等式的恒成立問題，是基礎(chǔ)題目．