Question

5．已知函數(shù)f（x）=e^x+ax，g（x）=ax-lnx，其中a＜0，e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)．
（Ⅰ）求f（x）在x∈[0，2]上的最小值；
（Ⅱ）試探究能否存在區(qū)間M，使得f（x）和g（x）在區(qū)間M上具有相同的單調(diào)性？若能存在，說(shuō)明區(qū)間M的特點(diǎn)，并指出f（x）和g（x）在區(qū)間M上的單調(diào)性；若不能存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求得極值點(diǎn)，對(duì)a討論，當(dāng)-1≤a＜0時(shí)，a≤-e²時(shí)，-e²＜a＜-1時(shí)，求得單調(diào)性，即可得到最小值；
（Ⅱ）求出g（x）的單調(diào)性和f（x）的極值點(diǎn)，對(duì)a討論，（1）-1≤a＜0時(shí)，（2）若a＜-1時(shí)，討論兩函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．

解答 解：（Ⅰ）f（x）的定義域?yàn)镽，且 f′（x）=e^x+a．
令f′（x）=0，得x=ln（-a）．                                         
若ln（-a）≤0，即-1≤a＜0時(shí)，f′（x）≥0，f（x）在x∈[0，2]上為增函數(shù)，
∴f（x）_min=f（0）=1；                                               
若ln（-a）≥2，即a≤-e²時(shí)，f′（x）≤0，f（x）在x∈[0，2]上為減函數(shù)，
∴$f{（x）_{min}}=f（2）={e^2}+2a$；                                         
若0＜ln（-a）＜2，即-e²＜a＜-1時(shí)，由于x∈[0，ln（-a））時(shí)，f′（x）＜0；
x∈（ln（-a），2]時(shí)，f′（x）＞0，
所以f（x）_min=f（ln（-a））=aln（-a）-a，
綜上可知f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{1，-1≤a＜0}\\{{e}^{2}+2a，a≤-{e}^{2}}\\{aln（-a）-a，-{e}^{2}＜a＜-1}\end{array}\right.$；
（Ⅱ）g（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），且 $g'（x）=a-\frac{1}{x}=\frac{ax-1}{x}$．
∵a＜0時(shí)，∴g′（x）＜0，∴g（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減．            
令f′（x）=0，得x=ln（-a），
（1）-1≤a＜0時(shí)，ln（-a）≤0，在（ln（-a），+∞）上f′（x）＞0，
∴f（x）單調(diào)遞增，由于g（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減，所以不能存在區(qū)間M，
使得f（x）和g（x）在區(qū)間M上具有相同單調(diào)；                                              
（2）若a＜-1時(shí)，ln（-a）＞0，在（-∞，ln（-a））上f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減；
在（ln（-a），+∞）上f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增．由于g（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減，
∴存在區(qū)間M⊆（0，ln（-a）]，使得f（x）和g（x）在區(qū)間M上均為減函數(shù)．    
綜上，當(dāng)-1≤a≤0時(shí)，不能存在區(qū)間M，使得f（x）和g（x）在區(qū)間M上具有相同的單調(diào)性；
當(dāng)a＜-1時(shí)，存在區(qū)間M⊆（0，ln（-a）]，使得f（x）和g（x）在區(qū)間M上均為減函數(shù)．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求單調(diào)區(qū)間和極值、最值，考查分類討論的思想方法和函數(shù)的單調(diào)性的運(yùn)用，屬于中檔題．