Question

19．已知雙曲線$\frac{x^2}{a^2}$-$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的左頂點與拋物線y²=2px（p＞0）的焦點的距離為3，且雙曲線的一條漸近線與拋物線的準(zhǔn)線的交點坐標(biāo)為（-1，-1），則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（　�。�

• A． $\frac{x^2}{2}$-$\frac{y^2}{2}$=1
• B． $\frac{x^2}{4}$-$\frac{y^2}{4}$=1
• C． $\frac{x^2}{4}$-y²=1
• D． $\frac{x^2}{2}$-y²=1

Answer 1

分析 設(shè)出雙曲線的左頂點和拋物線的焦點，雙曲線的漸近線方程和拋物線的準(zhǔn)線方程，求得p=a=b=2，即可得到所求雙曲線的方程．

解答 解：設(shè)雙曲線的左頂點為（-a，0），
拋物線y²=2px（p＞0）的焦點為（$\frac{p}{2}$，0），
由題意可得a+$\frac{p}{2}$=3，
雙曲線的漸近線方程為y=$\frac{a}$x，
拋物線的準(zhǔn)線方程為x=-$\frac{p}{2}$，
由題意可得-$\frac{p}{2}$=-1，-$\frac{a}$•$\frac{p}{2}$=-1，
解得p=2，a=2，b=2，
則雙曲線的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}$-$\frac{{y}^{2}}{4}$=1．
故選：B．

點評 本題考查雙曲線的方程的求法，注意運用拋物線的焦點和準(zhǔn)線，以及雙曲線的漸近線方程，考查運算能力，屬于基礎(chǔ)題．