Question

4．某商場柜臺銷售某種產(chǎn)品，每件產(chǎn)品的成本為10元，并且每件產(chǎn)品需向該商場交a元（3≤a≤7）的管理費(fèi)，預(yù)計當(dāng)每件產(chǎn)品的售價為x元（20≤x≤25）時，一天的銷售量為（x-30）²件．
（Ⅰ）求該柜臺一天的利潤f（x）（元）與每件產(chǎn)品的售價x的函數(shù)關(guān)系式；
（Ⅱ）當(dāng)每件產(chǎn)品的售價為多少元時，該柜臺一天的利潤f（x）最大，并求出f（x）的最大值g（a）．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出每件產(chǎn)品的利潤，乘以價格得到利潤L（萬元）與每件產(chǎn)品的售價x的函數(shù)關(guān)系式；
（Ⅱ）求出利潤函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，由a的范圍得到導(dǎo)函數(shù)零點的范圍，分類討論原函數(shù)在[9，11]上的單調(diào)性，并求出a在不同范圍內(nèi)的利潤函數(shù)的最值．

解答 解：（Ⅰ）f（x）=（x-30）²（x-10-a），20≤x≤25…（3分）
（Ⅱ）f'（x）=2（x-30）•（x-10-a）+（x-30）²=（3x-2a-50）（x-30）．…（4分）
令f'（x）=0，則$x=\frac{2a+50}{3}$或x=30，…（5分）
∵$3≤a≤7∴\frac{56}{3}≤\frac{2a+50}{3}≤\frac{64}{3}$…（6分）
∴①若$\frac{2a+50}{3}≤20$，即3≤a≤5時，f'（x）≤0，x∈[20，25]，
∴f（x）在[20，25]上是減函數(shù)．
∴$f{（x）_{max}}=f（20）={（30-20）^2}（20-10-a）$=100（10-a）=1000-10a…（8分）
②若5＜a≤7時，$\frac{2a+50}{3}∈[20，25]$
當(dāng)$x∈[20，\frac{3a+50}{3}]$時，f'（x）＞0，此時f（x）在$[20，\frac{3a+50}{3}]$是增函數(shù)；
當(dāng)$x∈[\frac{3a+50}{3}，25]$時，f'（x）＜0，此時f（x）在$[\frac{3a+50}{3}，25]$是減函數(shù)．
∴$f{（x）_{max}}=f（\frac{2a+50}{3}）={（30-\frac{2a+50}{3}）^2}（\frac{2a+50}{3}-10-a）$=${（\frac{2a-40}{3}）^2}（\frac{20-a}{3}）=-\frac{{4{{（a-20）}^3}}}{27}$…（11分）
∴當(dāng)3≤a≤5時，售價為20元時利潤最大，最大利潤g（a）為1000-10a；
當(dāng)5＜a≤7時，售價為$\frac{2a+50}{3}$元時利潤最大，最大利潤g（a）為$-\frac{{4{{（a-20）}^3}}}{27}$．…（12分）

點評 本題考查函數(shù)、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用等知識，考查運(yùn)用數(shù)學(xué)知識分析和解決實際問題的能力，是中檔題．