Question

【題目】在①，②，③這三個條件中選擇兩個，補充在下面問題中，并給出解答.已知數列的前項和為，滿足________，________；又知正項等差數列滿足，且，，成等比數列.

（1）求和的通項公式；

（2）證明：.

Answer 1

【答案】（1）選法見解析，，；（2）證明見解析.

【解析】

（1）若選擇①②

先由，當≥2時，，兩式相減整理得 ，再求出，進而說明數列是等比數列，求出，設正項等差數列的公差為，由已知條件求出，進而求得；

若選擇②③

先由，當≥2時，，兩式相減整理得 ，再求出，進而說明數列是等比數列，求出，設正項等差數列的公差為，由已知條件求出，進而求得；

（2）由（1）求得，再求，即可證明結論.

（1）解法一：選擇①②

當時，由得

，

兩式相減，得，即，

由①得，即，

∴，得，

∴，∴為，公比為的等比數列，

∴.

設等差數列的公差為，，且，，成等比數列.

，即，

解得，（舍去），∴

解法二：選擇②③

當時，由③，

得，

兩式相減，得，∴，

又，得，

∴，∴為，公比為的等比數列，

∴.

（以下同法一）

（2）證明：由（1）得

則

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