Question

已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{a_n}滿足：2a_n=S_n+

1

2

，其中S_n為數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）若a_n²=（

1

2

） bn，設(shè)c_n=

bn

an

，T_n為數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和，設(shè)d_n=

2n•Tn

n3-n

（n≥2），J_n=d₂+d₃+…+d_n，求證：J_n≥

8

3

（n≥2）

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）兩利用遞推式、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出；
（2）利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)可得b_n，再利用“錯(cuò)位相減法”可得T_n，利用“裂項(xiàng)求和”可得J_n，利用向量的單調(diào)性即可證明．

解答： （1）解：∵2a_n=S_n+

1

2

，
∴當(dāng)n=1時(shí)，2a1=a1+

1

2

，解得a₁=

1

2

；
當(dāng)n≥2時(shí)，2an-1=Sn-1+

1

2

，
∴2a_n-2a_n-1=a_n，化為a_n=2a_n-1．
∴數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，an=

1

2

×2n-1=2^n-2．
（2）證明：a_n²=（

1

2

） bn，
∴b_n=log

1

2

a

2 n

=2log

1

2

2n-2=2（2-n）=4-2n．
則c_n=

bn

an

=

4-2n

2n-2

=

2-n

2n-3

，
∴T_n=4+0-1-

2

2

-

3

22

-…+

2-n

2n-3

，

1

2

Tn=2+0-

1

2

-

2

22

-

3

23

-…+

3-n

2n-3

+

2-n

2n-2

，
∴

1

2

Tn=4-2-1-

1

2

-

1

22

-…-

1

2n-3

-

2-n

2n-2

=8-

4(1- 1 2n )

1- 1 2

-

2-n

2n-2

=

n

2n-2

，
∴Tn=

n

2n-3

．
∴d_n=

2n•Tn

n3-n

=

2n• n 2n-3

n3-n

=

8

n2-1

=4(

1

n-1

-

1

n+1

)，
J_n=d₂+d₃+…+d_n=4[(1-

1

3

)+(

1

2

-

1

4

)+(

1

3

-

1

5

)+…+(

1

n-1

-

1

n+1

)]
=4(1+

1

2

-

1

n

-

1

n+1

)≥J₂=4×(1+

1

2

-

1

2

-

1

3

)=

8

3

．
∴J_n≥

8

3

（n≥2）

點(diǎn)評(píng)：本題考查了遞推式、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式、對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)、“錯(cuò)位相減法”、“裂項(xiàng)求和”、數(shù)列的單調(diào)性，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．