Question

16．若a，b，c為直角三角形三邊，c為斜邊，求證：a³+b³＜c³．

Answer 1

分析 運用直角三角形的勾股定理，可得a²+b²=c²，即為（$\frac{a}{c}$）²+（$\frac{c}$）²=1，0＜$\frac{a}{c}$＜1，0＜$\frac{c}$＜1，再由指數函數y=a^x（0＜a＜1）遞減，可得（$\frac{a}{c}$）³+（$\frac{c}$）³＜1，即可得證．

解答 證明：a，b，c為直角三角形三邊，c為斜邊，
可得a²+b²=c²，
即為（$\frac{a}{c}$）²+（$\frac{c}$）²=1，
且0＜$\frac{a}{c}$＜1，0＜$\frac{c}$＜1，
由（$\frac{a}{c}$）³＜（$\frac{a}{c}$）²，（$\frac{c}$）³＜（$\frac{c}$）²，
可得（$\frac{a}{c}$）³+（$\frac{c}$）³＜（$\frac{a}{c}$）²+（$\frac{c}$）²=1，
即有a³+b³＜c³．

點評 本題考查不等式的證明，注意運用直角三角形的勾股定理和指數函數的單調性，考查推理和運算能力，屬于中檔題．