16．若a，b，c為直角三角形三邊，c為斜邊，求證：a3+b3＜c3．

分析 運用直角三角形的勾股定理，可得a2+b2=c2，即為（$\frac{a}{c}$）2+（$\frac{c}$）2=1，0＜$\frac{a}{c}$＜1，0＜$\frac{c}$＜1，再由指數(shù)函數(shù)y=ax（0＜a＜1）遞減，可得（$\frac{a}{c}$）3+（$\frac{c}$）3＜1，即可得證．

解答 證明：a，b，c為直角三角形三邊，c為斜邊，
可得a2+b2=c2，
即為（$\frac{a}{c}$）2+（$\frac{c}$）2=1，
且0＜$\frac{a}{c}$＜1，0＜$\frac{c}$＜1，
由（$\frac{a}{c}$）3＜（$\frac{a}{c}$）2，（$\frac{c}$）3＜（$\frac{c}$）2，
可得（$\frac{a}{c}$）3+（$\frac{c}$）3＜（$\frac{a}{c}$）2+（$\frac{c}$）2=1，
即有a3+b3＜c3．

點評 本題考查不等式的證明，注意運用直角三角形的勾股定理和指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，考查推理和運算能力，屬于中檔題．

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：選擇題

6．通過隨機詢問110名性別不同的大學生是否愛好某項運動，得到如下的列聯(lián)表：
  男 女 總計
 愛好 40 20 60
 不愛好 20 30 50
 總計 60 50 110
由${K^2}=\frac{{n{{（ad-bc）}^2}}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$算得：${K^2}=\frac{{110×{{（40×30-20×20）}^2}}}{60×50×60×50}≈7.8$
 P（K2≥k） 0.050 0.010 0.001
 k 3.841 6.635 10.828
參照附表，得到的正確結(jié)論是（　�。�
A．在犯錯誤的概率不超過1%的前提下，認為“愛好該項運動與性別有關(guān)”
B．在犯錯誤的概率不超過1%的前提下，認為“愛好該項運動與性別無關(guān)”
C．有99.9%以上的把握認為“愛好該項運動與性別有關(guān)”
D．有99.9%以上的把握認為“愛好該項運動與性別無關(guān)”

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：填空題

7．已知拋物線x2=2py（p＞0）的焦點到準線的距離為2，則直線y=x+1截拋物線所得的弦長等于8．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

4．已知a，b∈R+，且a≥b
求證：b≤$\sqrt{\frac{2}{\frac{1}{{a}^{2}}+\frac{1}{^{2}}}}$≤$\frac{2}{\frac{1}{a}+\frac{1}}$≤$\sqrt{ab}$≤$\frac{a+b}{2}$≤$\sqrt{\frac{{a}^{2}{+b}^{2}}{2}}$≤a．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

11．已知正數(shù)x，y，z滿足x+y+z=3，求證：$\frac{\sqrt{x}}{2x+3}$+$\frac{\sqrt{y}}{2y+3}$+$\frac{\sqrt{z}}{2z+3}$≤$\frac{3}{5}$．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

1．已知0＜x＜$\frac{1}{y}$，求證：y-y2＜$\frac{1}{x+1}$．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

8．已知橢圓Σ：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞b＞0）的焦距為4，且經(jīng)過點$P（2，\sqrt{2}）$．
（Ⅰ）求橢圓Σ的方程；
（Ⅱ）A、B是橢圓Σ上兩點，線段AB的垂直平分線l經(jīng)過M（0，1），求△OAB面積的最大值（O為坐標原點）．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：填空題

5．設(shè)斜率$\frac{1}{2}$為的直線l過拋物線y=ax2（a＞0）的焦點F，且和x軸交于點A，若△OAF的面積為4，則實數(shù)a的值為$\frac{1}{8}$．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：選擇題

6．定義m⊕n=nm（m＞0，n＞0），已知數(shù)列{an}滿足an=$\frac{n⊕3}{3⊕n}$（n∈N*），若對任意正整數(shù)n，都有an≥${a_{n_0}}$（n0∈N*），則${a_{n_0}}$的值為（　�。�
A．3B．$\frac{9}{8}$C．1D．$\frac{8}{9}$

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