11.已知正數(shù)x,y,z滿足x+y+z=3,求證:$\frac{\sqrt{x}}{2x+3}$+$\frac{\sqrt{y}}{2y+3}$+$\frac{\sqrt{z}}{2z+3}$≤$\frac{3}{5}$.

分析 由x=y=z=1時,不等式取得等號,可構(gòu)造函數(shù)f(x)=$\frac{\sqrt{x}}{2x+3}$-[$\frac{1}{50}$(x-1)+$\frac{1}{5}$],x>0,求出導(dǎo)數(shù),單調(diào)區(qū)間和極值,且為最值,再由不等式的可加性,即可得證.

解答 證明:構(gòu)造函數(shù)f(x)=$\frac{\sqrt{x}}{2x+3}$-[$\frac{1}{50}$(x-1)+$\frac{1}{5}$],x>0,
f′(x)=$\frac{3-2x}{2\sqrt{x}(2x+3)^{2}}$-$\frac{1}{50}$,
當(dāng)x∈(0,1)時,由3-2x∈(1,3),2$\sqrt{x}$(2x+3)2∈(0,50),
可得$\frac{3-2x}{2\sqrt{x}(2x+3)^{2}}$>$\frac{1}{50}$,則f′(x)>0,f(x)遞增;
當(dāng)x∈(1,+∞)時,f′(x)<0,f(x)遞減.
可得f(x)在x=1處取得極大值,且為最大值0,
即為f(x)≤f(1)=0,
即$\frac{\sqrt{x}}{2x+3}$≤[$\frac{1}{50}$(x-1)+$\frac{1}{5}$],對x>0恒成立;
同樣$\frac{\sqrt{y}}{2y+3}$≤[$\frac{1}{50}$(y-1)+$\frac{1}{5}$],對y>0恒成立;
$\frac{\sqrt{z}}{2z+3}$≤[$\frac{1}{50}$(z-1)+$\frac{1}{5}$],對x>0恒成立.
相加可得$\frac{\sqrt{x}}{2x+3}$+$\frac{\sqrt{y}}{2y+3}$+$\frac{\sqrt{z}}{2z+3}$≤$\frac{1}{50}$(x+y+z-3)+$\frac{3}{5}$=$\frac{3}{5}$.
則原不等式成立,當(dāng)且僅當(dāng)x=y=z=1取得等號.

點(diǎn)評 本題考查不等式的證明,注意運(yùn)用構(gòu)造函數(shù)法,運(yùn)用導(dǎo)數(shù)求得單調(diào)區(qū)間和最值,考查不等式的性質(zhì),屬于難題.

練習(xí)冊系列答案
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A.$\sqrt{3}$B.$\sqrt{2}$C.$\frac{2}{3}$$\sqrt{3}$D.$\frac{3}{2}$$\sqrt{2}$

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(1)求拋物線L的方程;
(2)與圓x2+(y+1)2=1相切的直線l:y=kx+t交拋物線L于不同的兩點(diǎn)M、N,若拋物線上一點(diǎn)C滿足$\overrightarrow{OC}$=λ($\overrightarrow{OM}$+$\overrightarrow{ON}$)(λ>0),求λ的取值范圍.

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