分析 由x=y=z=1時,不等式取得等號,可構(gòu)造函數(shù)f(x)=$\frac{\sqrt{x}}{2x+3}$-[$\frac{1}{50}$(x-1)+$\frac{1}{5}$],x>0,求出導(dǎo)數(shù),單調(diào)區(qū)間和極值,且為最值,再由不等式的可加性,即可得證.
解答 證明:構(gòu)造函數(shù)f(x)=$\frac{\sqrt{x}}{2x+3}$-[$\frac{1}{50}$(x-1)+$\frac{1}{5}$],x>0,
f′(x)=$\frac{3-2x}{2\sqrt{x}(2x+3)^{2}}$-$\frac{1}{50}$,
當(dāng)x∈(0,1)時,由3-2x∈(1,3),2$\sqrt{x}$(2x+3)2∈(0,50),
可得$\frac{3-2x}{2\sqrt{x}(2x+3)^{2}}$>$\frac{1}{50}$,則f′(x)>0,f(x)遞增;
當(dāng)x∈(1,+∞)時,f′(x)<0,f(x)遞減.
可得f(x)在x=1處取得極大值,且為最大值0,
即為f(x)≤f(1)=0,
即$\frac{\sqrt{x}}{2x+3}$≤[$\frac{1}{50}$(x-1)+$\frac{1}{5}$],對x>0恒成立;
同樣$\frac{\sqrt{y}}{2y+3}$≤[$\frac{1}{50}$(y-1)+$\frac{1}{5}$],對y>0恒成立;
$\frac{\sqrt{z}}{2z+3}$≤[$\frac{1}{50}$(z-1)+$\frac{1}{5}$],對x>0恒成立.
相加可得$\frac{\sqrt{x}}{2x+3}$+$\frac{\sqrt{y}}{2y+3}$+$\frac{\sqrt{z}}{2z+3}$≤$\frac{1}{50}$(x+y+z-3)+$\frac{3}{5}$=$\frac{3}{5}$.
則原不等式成立,當(dāng)且僅當(dāng)x=y=z=1取得等號.
點(diǎn)評 本題考查不等式的證明,注意運(yùn)用構(gòu)造函數(shù)法,運(yùn)用導(dǎo)數(shù)求得單調(diào)區(qū)間和最值,考查不等式的性質(zhì),屬于難題.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | 5 | B. | 4 | C. | 3 | D. | 2 |
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A. | $\sqrt{3}$ | B. | $\sqrt{2}$ | C. | $\frac{2}{3}$$\sqrt{3}$ | D. | $\frac{3}{2}$$\sqrt{2}$ |
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