1．已知0＜x＜$\frac{1}{y}$，求證：y-y2＜$\frac{1}{x+1}$．

分析 由y＞0，且1-y2＜1，運(yùn)用平方差公式，可得y-y2＜$\frac{1}{\frac{1}{y}+1}$，又$\frac{1}{\frac{1}{y}+1}$＜$\frac{1}{x+1}$，即可得證．

解答 證明：由0＜x＜$\frac{1}{y}$，可得y＞0，
且1-y2＜1，
可得（y-y2）•$\frac{1+y}{y}$=y（1-y）•$\frac{1+y}{y}$=1-y2＜1，
即有y-y2＜$\frac{1}{\frac{1+y}{y}}$=$\frac{1}{\frac{1}{y}+1}$，
又$\frac{1}{y}$＞x，可得
$\frac{1}{\frac{1}{y}+1}$＜$\frac{1}{x+1}$，
由不等式的傳遞性，可得
y-y2＜$\frac{1}{x+1}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查不等式的證明，注意運(yùn)用不等式的性質(zhì)，主要是傳遞性，考查運(yùn)算和推理能力，屬于中檔題．

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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：填空題

11．拋物線$y=-\frac{1}{4}{x^2}$的準(zhǔn)線方程為y=1．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

12．已知a＞0，b＞0，且a2+$\frac{a}$+$\frac{1}{^{2}}$=3，求證：a+$\frac{1}$≤2．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

9．（1）已知a，b，c＞0，求證：$\frac{{a}^{2}}+\frac{^{2}}{c}+\frac{{c}^{2}}{a}$≥a+b+c；
（2）已知a＞0，b＞0，a+b=1，求證：$\frac{1}{a}+\frac{1}+\frac{1}{ab}≥8$．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

16．若a，b，c為直角三角形三邊，c為斜邊，求證：a3+b3＜c3．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：填空題

6．以拋物線y2=4x的焦點(diǎn)為焦點(diǎn)，以直線y=±x為漸近線的雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{{x}^{2}}{\frac{1}{2}}-\frac{{y}^{2}}{\frac{1}{2}}$=1．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：選擇題

13．利用數(shù)學(xué)歸納法證明$\frac{1}{n}$+$\frac{1}{n+1}$+$\frac{1}{n+2}$+…+$\frac{1}{2n}$＜1（n∈N*，且n≥2）時(shí)，第二步由k到k+1時(shí)不等式左端的變化是（　　）
A．增加了$\frac{1}{2k+1}$這一項(xiàng)
B．增加了$\frac{1}{2k+1}$和$\frac{1}{2k+2}$兩項(xiàng)
C．增加了$\frac{1}{2k+1}$和$\frac{1}{2k+2}$兩項(xiàng)，同時(shí)減少了$\frac{1}{k}$這一項(xiàng)
D．以上都不對(duì)

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：填空題

10．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)P（-m2，3）在拋物線y2=mx的準(zhǔn)線上，則實(shí)數(shù)m=$\frac{1}{4}$．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

11．在四棱錐P-ABCD中，AD∥BC，DC⊥AD，PA⊥平面ABCD，2AD=BC=2$\sqrt{3}$，∠DAC=30°，M為PB中點(diǎn)．
（1）證明：AM∥平面PCD；
（2）若二面角M-PC-D的余弦值為-$\frac{{\sqrt{6}}}{4}$，求PA的長．

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同步練習(xí)冊(cè)答案