Question

5．如圖所示是一打靶用的靶標(biāo)，其半徑為10cm，被平分成10個同心圓，從里到外各區(qū)域分別記在數(shù)值10，9，…，2，1，表示打到那個區(qū)域就得對應(yīng)的分值，若某運動員打靶所得分值ξ與打中相應(yīng)區(qū)域的概率P（ξ）的函數(shù)關(guān)系是P（ξ）=$\frac{1}{55}$（11-ξ）．
（1）若他打一次，則所得分值不少于8分的概率是多少？
（2）若他連打3次，每次打靶都相對獨立，則得分恰為27分的概率；
（3）求這位運動員打一次靶得分值ξ的數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析 （1）他打一次，則所得分值不少于8分的概率P₁=P（ξ=8）+P（ξ=9）+P（ξ=10），由此能求出結(jié)果．
（2）他連打3次，每次打靶都相對獨立，則得分恰為27分包含3種情況：①三次得分為10，10，7；②三次得分為8，9，10；③三次得分為9，9，9．由此能求出他連打3次，每次打靶都相對獨立，得分恰為27分的概率．
（3）由題意ξ的可能取值為0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，P（ξ）=$\frac{1}{55}$（11-ξ），由此能求出這位運動員打一次靶得分值ξ的數(shù)學(xué)期望．

解答 解：（1）∵某運動員打靶所得分值ξ與打中相應(yīng)區(qū)域的概率P（ξ）的函數(shù)關(guān)系是P（ξ）=$\frac{1}{55}$（11-ξ），
∴他打一次，則所得分值不少于8分的概率：
P₁=P（ξ=8）+P（ξ=9）+P（ξ=10）
=$\frac{1}{55}（11-8）+\frac{1}{55}（11-9）+\frac{1}{55}（11-10）$
=$\frac{6}{55}$．
（2）他連打3次，每次打靶都相對獨立，則得分恰為27分包含3種情況：
①三次得分為10，10，7；②三次得分為8，9，10；③三次得分為9，9，9．
∴他連打3次，每次打靶都相對獨立，得分恰為27分的概率：
P₂=${C}_{3}^{1}×\frac{1}{55}（11-7）×\frac{1}{55}（11-10）×\frac{1}{55}（11-10）$+${A}_{3}^{3}×\frac{1}{55}（11-8）×\frac{1}{55}×（11-9）×\frac{1}{55}×（11-10）$+$\frac{1}{55}（11-9）×\frac{1}{55}×（11-9）×\frac{1}{55}×（11-9）$
=$\frac{12}{166375}$+$\frac{36}{166375}$+$\frac{8}{166375}$
=$\frac{56}{166375}$．
（3）由題意ξ的可能取值為0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，
∵P（ξ）=$\frac{1}{55}$（11-ξ），
∴Eξ=0×$\frac{11}{55}$+1×$\frac{10}{55}$+2×$\frac{9}{55}$+3×$\frac{8}{55}$+4×$\frac{7}{55}$+5×$\frac{6}{55}$+6×$\frac{5}{55}$+7×$\frac{4}{55}$+8×$\frac{3}{55}$+9×$\frac{2}{55}$+10×$\frac{1}{55}$=4．

點評 本題考查概率的求法，考查離散型隨機變量的數(shù)學(xué)期望的求示，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意分類討論思想的合理運用．