Question

13．已知正項數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且S_n=$\frac{{a}_{n}^{2}+3{a}_{n}+2}{6}$．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）若a₂=4a₁，b_n=$\frac{3}{{a}_{n}•{a}_{n+1}}$，求數(shù)列{b_n}的前n項和T_n＜$\frac{15}{16}$時自然數(shù)n的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用遞推關(guān)系即可得出．
（2）由a₂=4a₁，可得a_n=3n-2，b_n=$\frac{3}{{a}_{n}•{a}_{n+1}}$=$\frac{3}{（3n-2）（3n+1）}$=$\frac{1}{3n-2}-\frac{1}{3n+1}$，利用“裂項求和”方法與不等式的性質(zhì)即可得出．

解答 解：（1）∵S_n=$\frac{{a}_{n}^{2}+3{a}_{n}+2}{6}$，∴a₁=$\frac{{a}_{1}^{2}+3{a}_{1}+2}{6}$，化為${a}_{1}^{2}-3{a}_{1}$+2=0，解得a₁=1或2．
當(dāng)n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=$\frac{{a}_{n}^{2}+3{a}_{n}+2}{6}$-$\frac{{a}_{n-1}^{2}+3{a}_{n-1}+2}{6}$，化為：（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-3）=0，
∵a_n+a_n-1＞0，∴a_n-a_n-1=3．
∴數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，公差為3．
∴a_n=1+3（n-1）=3n-2，或a_n=2+3（n-1）=3n-1．
（2）∵a₂=4a₁，
∴a_n=3n-2，
∴b_n=$\frac{3}{{a}_{n}•{a}_{n+1}}$=$\frac{3}{（3n-2）（3n+1）}$=$\frac{1}{3n-2}-\frac{1}{3n+1}$，
∴數(shù)列{b_n}的前n項和T_n=$（1-\frac{1}{4}）$+$（\frac{1}{4}-\frac{1}{7}）$+…+$（\frac{1}{3n-2}-\frac{1}{3n+1}）$=1-$\frac{1}{3n+1}$=$\frac{3n}{3n+1}$，
∴T_n＜$\frac{15}{16}$，即$\frac{3n}{3n+1}$＜$\frac{15}{16}$，化為：n＜5．
∴n的取值范圍是：{1，2，3，4}．

點評 本題考查了等差數(shù)列的通項公式、“裂項求和”方法、不等式的性質(zhì)、遞推關(guān)系，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．