Question

設(shè)f（x）定義域?yàn)镽，x＞0時(shí)f（x）＞1且對(duì)任意x，y∈R，有f（x+y）=f（x）•f（y），
（1）求f（0）；
（2）判斷其單調(diào)性并證明．

Answer 1

考點(diǎn)：抽象函數(shù)及其應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）為使f（x+y）=f（x）•f（y）中有f（0），由當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）＞1．可設(shè)x=0，y=1可得f（1）=f（0）•f（1），結(jié)合f（1）＞1可求f（0）
（2）要證明f（x）在R上是增函數(shù)，即證明當(dāng)x₁＜x₂時(shí)，有f（x₁）＜f（x₂），當(dāng)x₁，x₂∈R，x₁＜x₂，有x₂-x₁＞0，則f（x₂）=f（x₁+x₂-x₁）=f（x₁）•f（x₂-x₁），可證

解答： 解：（1）：設(shè)x=0，y=1得：f（0+1）=f（0）•f（1），
即f（1）=f（0）•f（1）
∵f（1）＞1
∴f（0）=1
（2）f（x）再其定義域上為增函數(shù)．
證明：∵對(duì)x₁，x₂∈R，x₁＜x₂，有x₂-x₁＞0
∴f（x₂）=f（x₁+x₂-x₁）=f（x₁）•f（x₂-x₁）中有f（x₂-x₁）＞1
由已知可，得當(dāng)x₁＞0時(shí)，f（x₁）＞1＞0
當(dāng)x₁=0時(shí)，f（x₁）=1＞0
當(dāng)x₁＜0時(shí)，f（x₁）•f（-x₁）=f（x₁-x₁）=f（0）=1
又∵f（-x₁）＞1∴0＜f（x₁）＜1
故對(duì)于一切x₁∈R，有f（x₁）＞0
∴f（x₂）=f（x₁）•f（x₂-x₁）＞f（x₁），
∴函數(shù)f（x）為增函數(shù)．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了抽象函數(shù)表達(dá)式反映函數(shù)性質(zhì)及抽象函數(shù)表達(dá)式的應(yīng)用，函數(shù)單調(diào)性的定義及其證明，轉(zhuǎn)化化歸的思想方法