Question

設(shè)函數(shù)f（x）=2^x+

1

2|x|

．
（1）若f（x）=

5

2

，求x的值；
（2）若關(guān)于x的方程f（2x）+af（x）+4=0在x∈（0，+∞）上有解，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的值域

專(zhuān)題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）x＜0時(shí)，f（x）=2•2^x＜2，所以講f（x）=

5

2

帶入f（x）=2x+

1

2x

求x即可；
（2）帶入f（x）=2x+

1

2x

，求出f（2x），從而得到22x+

1

22x

+a(2x+

1

2x

)+4=0，解出a=-[2x+

1

2x

+

2

2x+ 1 2x

]≤-2

2

，這便求出了a的取值范圍．

解答： 解：（1）f（x）=

2x+ 1 2x x≥0 2•2x x＜0

；
∵x＜0時(shí)，2•2^x＜2；
∴只能2x+

1

2x

=

5

2

，解得x=1，或-1（舍去）；
即x的值為1；
（2）22x+

1

22x

+a(2x+

1

2x

)+4=0；
∴a=-

22x+ 1 22x +4

2x+ 1 2x

=-

(2x+ 1 2x )2+2

2x+ 1 2x

=-[2x+

1

2x

+

2

2x+ 1 2x

]≤-2

2

；
∴a的取值范圍是（-∞，-2

2

]．

點(diǎn)評(píng)：考查含絕對(duì)值函數(shù)，分段函數(shù)，已知函數(shù)值求自變量值，基本不等式：a+b≥2

ab

，a＞0，b＞0．