Question

8．2015年6月1日約21時(shí)28分，一艘從南京駛往重慶的客船“東方之星”在長(zhǎng)江中游湖北監(jiān)利水域遭遇龍卷風(fēng)翻沉．如圖所示，A，B是江面上位于東西方向相距5（3+$\sqrt{3}$）千米的兩個(gè)觀測(cè)點(diǎn)．現(xiàn)位于A點(diǎn)北偏東45°，B點(diǎn)北偏西60°的客船東方之星（D點(diǎn)）發(fā)出求救信號(hào)，位于B點(diǎn)南偏西60°且與B點(diǎn)相距20$\sqrt{3}$千米的C點(diǎn)的救援船立即前往營(yíng)救，其航行速度為30千米每小時(shí)，該救援船到達(dá)D點(diǎn)需要多長(zhǎng)時(shí)間？

Answer 1

分析 在△ABD中利用正弦定理計(jì)算BD，再在△BCD中使用余弦定理計(jì)算CD，得出時(shí)間．

解答 解：由題意知$AB=5（3+\sqrt{3}）（km）$，∠DBA=90°-60°=30°，∠DAB=90°-45°=45°，
∴∠ADB=180°-（45°+30°）=105°．
在△ABD中，由正弦定理得：$\frac{DB}{sin∠DAB}=\frac{AB}{sin∠ADB}$，
∴$DB=\frac{AB•sin∠DAB}{sin∠ADB}=\frac{{5（3+\sqrt{3}）•sin{{45}°}}}{{sin{{105}°}}}=10\sqrt{3}（km）$
又∠DBC=∠DBA+∠ABC=30°+（90°-60°）=60°．
在△DBC中．由余弦定理得：CD²=BD²+BC²-2BD•BC•cos∠DBC=$300+1200-2×10\sqrt{3}×20\sqrt{3}×\frac{1}{2}=900$
∴CD=30（km）
救援船到達(dá)時(shí)間為t=1（小時(shí)）
答：該救援船到達(dá)D點(diǎn)需要1小時(shí)．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了正余弦定理在解三角形中的應(yīng)用，屬于中檔題．