Question

20．已知橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的焦距為2．且經(jīng)過點(diǎn)（${\frac{2}{3}$，$\frac{{2\sqrt{6}}}{3}}$）．
（I）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）若過點(diǎn)D（4，O）的直線l與C交于不同的兩點(diǎn)A，B，且A在DB之間，試求△AOD與△BOD面積之比的取值范圍．

Answer 1

分析 （I）由題意可得：2c=2，$\frac{4}{9{a}^{2}}+\frac{24}{9^{2}}$=1，又a²=b²+c²，聯(lián)立解出即可得出．
（II）由題意可設(shè)直線l的方程為：x=my+4，代入橢圓方程可得：（3m²+4）y²+2my+36=0，由△＞0，解得m²＞4．設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．令λ=$\frac{{S}_{△AOD}}{{S}_{△BOD}}$=$\frac{\frac{1}{2}|OD||{y}_{1}|}{\frac{1}{2}|OD||{y}_{2}|}$=$\frac{{y}_{1}}{{y}_{2}}$，λ∈（0，1）．把y₁=λy₂代入根與系數(shù)的關(guān)系，解得：m²=$\frac{4（λ+1）^{2}}{10λ-3{λ}^{2}-3}$＞4，解出即可得出．

解答 解：（I）∵橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的焦距為2，且經(jīng)過點(diǎn)（${\frac{2}{3}$，$\frac{{2\sqrt{6}}}{3}}$），
∴2c=2，$\frac{4}{9{a}^{2}}+\frac{24}{9^{2}}$=1，又a²=b²+c²，聯(lián)立解得a=2，c=1，b²=3．
∴橢圓C的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}$=1．
（II）由題意可設(shè)直線l的方程為：x=my+4，代入橢圓方程可得：（3m²+4）y²+24my+36=0，由△＞0，解得m²＞4．
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．∴y₁+y₂=$\frac{-24m}{3{m}^{2}+4}$，y₁y₂=$\frac{36}{3{m}^{2}+4}$，（*），
令λ=$\frac{{S}_{△AOD}}{{S}_{△BOD}}$=$\frac{\frac{1}{2}|OD||{y}_{1}|}{\frac{1}{2}|OD||{y}_{2}|}$=$\frac{{y}_{1}}{{y}_{2}}$，λ∈（0，1）．
把y₁=λy₂代入（*）可得：$\frac{（λ+1）^{2}}{λ}$=$\frac{16{m}^{2}}{3{m}^{2}+4}$，解得：m²=$\frac{4（λ+1）^{2}}{10λ-3{λ}^{2}-3}$＞4，
則λ≠1，且3λ²-10λ+3＜0，解得$\frac{1}{3}＜λ＜1$，
∴△AOD與△BOD面積之比的取值范圍是$（\frac{1}{3}，1）$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問題、三角形面積計(jì)算公式、不等式的解法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．