Question

過(guò)點(diǎn)F₁（-

3

，0），F(xiàn)₂（

3

，0），△ABC內(nèi)切圓心在直線x=1，x=-1上移動(dòng)，
（1）求頂點(diǎn)C的軌跡方程；
（2）過(guò)圓x²+y²=2上一點(diǎn)的切線l交軌跡C于點(diǎn)A，B兩點(diǎn)，求證：∠AOB為定值．

Answer 1

考點(diǎn)：軌跡方程,圓的切線方程

專(zhuān)題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）由題意畫(huà)出圖形，利用圓的切線長(zhǎng)相等得到C滿足|CF₁|-|CF₂|=±2，從而求得雙曲線方程；
（2）設(shè)出切點(diǎn)P的坐標(biāo)，表示出過(guò)切點(diǎn)的圓x²+y²=2的方程，和雙曲線方程聯(lián)立后利用根與系數(shù)的關(guān)系得到兩焦點(diǎn)A，B的橫縱坐標(biāo)的積，代入數(shù)量積公式得答案．

解答： （1）解：如圖，
設(shè)切點(diǎn)分別為D、E、F，內(nèi)心在直線x=1上時(shí)，則|CF₁|-|CF₂|=|F₁E|-|F₂F|=|F₁D|-|F₂D|=(

3

+1)-(

3

-1)=2，
同理，內(nèi)心在x=-1上時(shí)，|CF₁|-|CF₂|=-2，
故|CF₁|-|CF₂|=±2，
∴C的方程為x2-

y2

2

=1(y≠0)；
（2）證明：設(shè)切點(diǎn)P（x₀，y₀），l與軌跡C交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則l方程為x₀x+y₀y=2，
由

x2- y2 2 =1 x0x+y0y=2

⇒(2

y

2 0

-

x

2 0

)x2+4x0x-(2

y

2 0

+4)=0，
當(dāng)y₀≠0時(shí)，2

y

2 0

-

x

2 0

≠0，
∴x1+x2=-

4x0

2 y 2 0 - x 2 0

，x1x2=-

2 y 2 0 +4

2 y 2 0 - x 2 0

，
又y1y2=

2-x0x1

y0

•

2-x0x2

y0

=

8-2 x 2 0

2 y 2 0 - x 2 0

，x02+y02=2，
∴

OA

•

OB

=x1x2+y1y2=

4-2(x02+y02)

2 y 2 0 - x 2 0

=0，
∴OA⊥OB⇒∠AOB=90°；
當(dāng)y₀=0時(shí)，上述結(jié)論仍成立，綜上可知∠AOB=90°．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了雙曲線的定義，考查了雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法和數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，考查了直線與圓錐曲線的關(guān)系，是中檔題．