Question

已知函數(shù)（為常數(shù)，為自然對數(shù)的底）

（1）當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；

（2）若函數(shù)在上無零點(diǎn)，求的最小值；

（3）若對任意的，在上存在兩個(gè)不同的使得成立，求的取值范圍．

 

Answer 1

（1）的減區(qū)間為，增區(qū)間為；

（2）的最小值為；

（3）．

【解析】

試題分析：（1）把代入到中求出，令求出的范圍即為函數(shù)的增區(qū)間，令，求出的范圍即為函數(shù)的減區(qū)間；（2）時(shí)不可能恒成立，所以要使得函數(shù)在上無零點(diǎn)，只需要對時(shí)，恒成立，列出不等式解出大于一個(gè)函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)得到函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)函數(shù)的增減性得到這個(gè)函數(shù)的最大值即可得到的最小值；（3）求出，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，即可求出的值域，而當(dāng)時(shí)不合題意；當(dāng)時(shí)，求出時(shí)的值，根據(jù)列出關(guān)于的不等式得到①，并根據(jù)此時(shí)的的值討論導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，根據(jù)單調(diào)區(qū)間得到②和③，令②中不等式的坐標(biāo)為一個(gè)函數(shù)，求出此函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，討論導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，根據(jù)函數(shù)的增減性得到此函數(shù)的最大值，即可解出②恒成立和解出③得到④，聯(lián)立①和④即可解出滿足題意的取值范圍．

試題解析：（1）時(shí)，

由得；得．

故的減區(qū)間為，增區(qū)間為．

（2）因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015022606003995289164/SYS201502260600475000999844_DA/SYS201502260600475000999844_DA.031.png">在上恒成立不可能，

故要使在上無零點(diǎn)，只要對任意的，恒成立

即時(shí)，．

令

則

再令

于是在上為減函數(shù)

故

在上恒成立

在上為增函數(shù)

在上恒成立

又

故要使恒成立，只要

若函數(shù)在上無零點(diǎn)，的最小值為．

（3）

當(dāng)時(shí)，，為增函數(shù)；

當(dāng)時(shí)，，為減函數(shù)．

函數(shù)在上的值域?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015022606003995289164/SYS201502260600475000999844_DA/SYS201502260600475000999844_DA.060.png">

當(dāng)時(shí)，不合題意；

當(dāng)時(shí)，．

故．

①

此時(shí)，當(dāng)變化時(shí)，，的變化情況如下

	—	0	+
	↘	最小值	↗

 

時(shí)，，

任意定的，在區(qū)間上存在兩個(gè)不同的

使得成立，

當(dāng)且僅當(dāng)滿足下列條件

即 ②

即 ③

令

令得

當(dāng)時(shí)， 函數(shù)為增函數(shù)

當(dāng)時(shí)， 函數(shù)為減函數(shù)

所以在任取時(shí)有

即②式對恒成立

由③解得 ④

由①④ 當(dāng)時(shí)，

對任意，在上存在兩個(gè)不同的使成立．

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上的最值．