Question

3．設(shè)函數(shù)f（x）=x²-ax+a+3，g（x）=ax-2a．
（1）若函數(shù)h（x）=f（x）-g（x）在[-2，0]上有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）若存在x₀∈R，使得f（x₀）≤0與g（x₀）≤0同時(shí)成立，求實(shí)數(shù)a的最小值．

Answer 1

分析 （1）由h（x）在區(qū)間內(nèi)的兩個(gè)零點(diǎn)，結(jié)合圖形，得到需要滿足的條件．
（2）由f（x₀）≤0與g（x₀）≤0同時(shí)成立，得到得a≥3，可將問題轉(zhuǎn)化為最值問題，由單調(diào)性得到最值，即可．

解答 解：（1）由已知，h（x）=f（x）-g（x）=x²-2ax+3a+3=0在[-2，0]上有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，
所以$\left\{{\begin{array}{l}{h（{-2}）=7a+7≥0}\\{h（0）=3a+3≥0}\\{-2≤a≤0}\\{△=4{a^2}-12a-12＞0}\end{array}}\right.$，
即$\left\{{\begin{array}{l}{a≥-1}\\{-2≤a≤0}\\{a＜\frac{{3-\sqrt{21}}}{2}或a＞\frac{{3+\sqrt{21}}}{2}}\end{array}}\right.$，
解得$-1≤a＜\frac{{3-\sqrt{21}}}{2}$，
（2）由已知，$\left\{{\begin{array}{l}{{x_0}^2-a{x_0}+a+3≤0}\\{a{x_0}-2a≤0}\end{array}}\right.$$\begin{array}{l}{（1）}\\{（2）}\end{array}$，
（1）+（2）得$x_0^2≤a-3$，得a≥3，
再由（2）得x₀≤2，由（1）得$a（{{x_0}-1}）≥{x_0}^2+3$，得x₀＞1，
于是，問題等價(jià)于：a≥3，且存在x₀∈（1，2]滿足${x_0}^2-a{x_0}+a+3≤0$，
令t=x₀-1∈（0，1]，$a≥\frac{{{x_0}^2+3}}{{{x_0}-1}}=t+\frac{4}{t}+2$，
因?yàn)?φ（t）=t+\frac{4}{t}+2$在（0，1]上單調(diào)遞減，
所以φ（t）≥φ（1）=7，即a≥7，
故實(shí)數(shù)a的最小值為7．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)形結(jié)合，問題轉(zhuǎn)化為最值問題，由單調(diào)性得到最值．