Question

已知f（x）=9^x-2×3^x+4，x∈[-1，2]．
（1）已知f（x）=7，求x的值；
（2）設(shè)t=3^x，x∈[-1，2]，求t的最大值與最小值；
（3）求f（x）的最大值與最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：指數(shù)函數(shù)綜合題

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）利用換元法，令3^x=t（t＞0），先解t，再解x．
（2）根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求其最值；
（3）把f（x）轉(zhuǎn)化為關(guān)于變量t的二次函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求得最值．

解答： 解：（1）令3^x=t（t＞0），
∴f（x）=t²-2t+4=7，
解得：t=3或t=-1（舍）；
∴3^x=3，
∴x=1；
（2）∵t=3^x在[-1，2]是單調(diào)增函數(shù)，
∴tmax=32=9，tmin=3-1=

1

3

；
（3）令t=3^x，∵x∈[-1，2]，∴t∈[

1

3

，9），
∴t=1時，x=0，f（x）_min=3，
當(dāng)t═3時，此時x=2，f（x）=_max=67．
故f（x）的最大值為67，最小值為3．

點(diǎn)評：本題考查二次函數(shù)在閉區(qū)間上最值求解，考查指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力，注意換元后變量范圍的變化．