Question

已知函數(shù)f（x）=e^x，g（x）=ax²+bx+1，當(dāng)a=0時(shí)，若f（x）≥g（x）對(duì)任意x恒成立，求b的取值集合．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)恒成立問(wèn)題

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：令h（x）=e^x-bx-1≥0對(duì)任意x恒成立，h'（x）=e^x-b，由此利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出b的取值集合．

解答： 解：∵函數(shù)f（x）=e^x，g（x）=ax²+bx+1，
當(dāng)a=0時(shí)，f（x）≥g（x）對(duì)任意x恒成立，
令h（x）=e^x-bx-1≥0對(duì)任意x恒成立，
h（x）=e^2-bx-1，當(dāng)x=lnb取最小，最小值應(yīng)為為b-blnb-1≥0，
令t（b）=b-blnb-1
t'（b）=1-b•

1

b

-lnb=-lnb=0時(shí)，
b=1，t（b）在（0，1）上單調(diào)遞增，在（1，+∞）上單調(diào)遞增，
所以t（b）max=t（1）=0
所以只有b=1時(shí)滿足h（lnb）≥0，
所以b∈{1}．

點(diǎn)評(píng)：本題考查實(shí)數(shù)的取值范圍的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意導(dǎo)數(shù)性質(zhì)和分類討論思想的合理運(yùn)用．