Question

10．如圖，直線AB經過⊙O上一點C，⊙O的半徑為3，△AOB是等腰三角形，且C是AB中點，⊙O交直線OB于E、D．
（Ⅰ）證明：直線AB與⊙O相切；
（Ⅱ）若∠CED的正切值為$\frac{1}{2}$，求OA的長．

Answer 1

分析 （Ⅰ）連接OC，證明：OC⊥AB，即可證明直線AB與⊙O相切；
（Ⅱ）證明△BCD∽△BEC，可得$\frac{BD}{BC}=\frac{CD}{EC}=\frac{1}{2}$，利用切割線定理，求OA的長．

解答 解：（Ⅰ）連接OC，
∵OA=OB，CA=CB，
∴OC⊥AB，
∴AB是⊙O的切線，即直線AB與⊙O相切．
證明：（Ⅱ）依題意知，DE是直徑，
∴∠ECD=90°，
∴在Rt△ECD中，由tan∠CED=$\frac{1}{2}$，得$\frac{CD}{EC}=\frac{1}{2}$，
∵AB是⊙O的切線，
∴∠BCD=∠E，
又∵∠CBD=∠EBC，
∴△BCD∽△BEC，
∴$\frac{BD}{BC}=\frac{CD}{EC}=\frac{1}{2}$，設BD=x，則BC=2x，
又BC²=BD•BE，
∴（2x）²=x•（x+6），解得x₁=0，x₂=2，
∵BD=x＞0，
∴BD=2，
∴OA=OB=BD+OD=3+2=5．

點評 本題考查圓的切線的證明，考查三角形相似的判定與性質，考查切割線定理，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．