Question

已知函數(shù)f（x）=x-2

x

+1（x≥1）
（1）求f（x）的反函數(shù)f^-1（x），并指出其定義域；
（2）若數(shù)列{a_n}的前n項和s_n對所有的大于1的自然數(shù)n都有sn=f-1(sn-1)，且a₁=1，求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（3）cn=

1

an•an+1

，求c₁+c₂+…+c_n．

Answer 1

考點：數(shù)列與函數(shù)的綜合,反函數(shù)

專題：計算題,解題思想,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）利用函數(shù)解析式，反解x，再將x，y互換，即可求得反函數(shù)f^-1（x）；
（2）確定{

Sn

}為等差數(shù)列，利用n≥2時，a_n=S_n-S_n-1，即可求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（3）利用裂項法，即可求數(shù)列的和．

解答： 解：（1）∵y=f（x）=x-2

x

+1=（

x

-1）²（x≥1）
∴

x

-1=

y

（x≥1）
∴x=(

y

+1)2
∴f^-1（x）=(

x

+1)2
定義域為：[0，+∞）（4分）
（2）∵Sn=f-1(Sn-1)
∴Sn=(

Sn-1

+1)2
又S_n＞0，∴

Sn

=

Sn-1

+1
∴{

Sn

}為等差數(shù)列
∵a₁=S₁=1
∴

Sn

=n，∴Sn=n2
∴n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=2n-1
n=1時，也符合上式
故a_n=2n-1（8分）
（3）cn=

1

an•an+1

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

（

1

2n-1

-

1

2n+1

）
∴c₁+c₂+…+c_n═

1

2

[（1-

1

3

）+（

1

3

-

1

5

）+…+（

1

2n-1

-

1

2n+1

）]=

n

2n+1

（13分）

點評：本題考查反函數(shù)，考查數(shù)列的通項與求和，確定數(shù)列的通項，正確運用求和公式是關(guān)鍵．