Question

【題目】定義：若數(shù)列滿足所有的項(xiàng)均由構(gòu)成且其中有個(gè)，有個(gè)，則稱為“﹣數(shù)列”．

（1）為“﹣數(shù)列”中的任意三項(xiàng)，則使得的取法有多少種？

（2）為“﹣數(shù)列”中的任意三項(xiàng)，則存在多少正整數(shù)對(duì)使得且的概率為.

Answer 1

【答案】（1）16；（2）115.

【解析】

(1)易得使得的情況只有“”,“”兩種,再根據(jù)組合的方法求解兩種情況分別的情況數(shù)再求和即可.

(2)易得“”共有種,“”共有種.再根據(jù)古典概型的方法可知,利用組合數(shù)的計(jì)算公式可得,當(dāng)時(shí)根據(jù)題意有,共個(gè)；

當(dāng)時(shí)求得,再根據(jù)換元根據(jù)整除的方法求解滿足的正整數(shù)對(duì)即可.

解：（1）三個(gè)數(shù)乘積為有兩種情況：“”,“”,

其中“”共有：種,

“”共有：種,

利用分類計(jì)數(shù)原理得：

為“﹣數(shù)列”中的任意三項(xiàng),

則使得的取法有：種．

（2）與(1)同理,“”共有種,

“”共有種,

而在“﹣數(shù)列”中任取三項(xiàng)共有種,

根據(jù)古典概型有：,

再根據(jù)組合數(shù)的計(jì)算公式能得到：

,

時(shí),應(yīng)滿足,

,共個(gè),

時(shí),

應(yīng)滿足,

視為常數(shù),可解得,

,

根據(jù)可知,,

,

,

根據(jù)可知,,（否則）,

下設(shè),

則由于為正整數(shù)知必為正整數(shù),

,

,

化簡上式關(guān)系式可以知道：,

均為偶數(shù),

設(shè),

則

,

由于中必存在偶數(shù),

只需中存在數(shù)為的倍數(shù)即可,

,

．

檢驗(yàn)： 符合題意,

共有個(gè),

綜上所述：共有個(gè)數(shù)對(duì)符合題意．