Question

9．設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且滿足sinA+sinB=（cosA+cosB）sinC．
（Ⅰ）求證：△ABC為直角三角形；
（Ⅱ）若a+b+c=1+$\sqrt{2}$，求△ABC面積的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由sinA+sinB=（cosA+cosB）sinC，利用正、余弦定理，得a+b=$（{\frac{{{b^2}+{c^2}-{a^2}}}{2bc}+\frac{{{c^2}+{a^2}-{b^2}}}{2ca}}）$c，化簡整理，即可證明：△ABC為直角三角形；
（Ⅱ）利用a+b+c=1+$\sqrt{2}$，a²+b²=c²，根據(jù)基本不等式可得1+$\sqrt{2}$=a+b+$\sqrt{{a^2}+{b^2}}$≥2$\sqrt{ab}$+$\sqrt{2ab}$=（2+$\sqrt{2}$）•$\sqrt{ab}$，即可求出△ABC面積的最大值．

解答 （Ⅰ）證明：在△ABC中，因?yàn)閟inA+sinB=（cosA+cosB）sinC，
所以由正、余弦定理，得a+b=$（{\frac{{{b^2}+{c^2}-{a^2}}}{2bc}+\frac{{{c^2}+{a^2}-{b^2}}}{2ca}}）$c  …（2分）
化簡整理得（a+b）（a²+b²）=（a+b）c²
因?yàn)閍+b＞0，所以a²+b²=c²  …（4分）
故△ABC為直角三角形，且∠C=90°  …（6分）
（Ⅱ）解：因?yàn)閍+b+c=1+$\sqrt{2}$，a²+b²=c²，
所以1+$\sqrt{2}$=a+b+$\sqrt{{a^2}+{b^2}}$≥2$\sqrt{ab}$+$\sqrt{2ab}$=（2+$\sqrt{2}$）•$\sqrt{ab}$
當(dāng)且僅當(dāng)a=b時，上式等號成立，所以$\sqrt{ab}$≤$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$．…（8分）
故S_△ABC=$\frac{1}{2}$ab≤$\frac{1}{2}$×${（{\frac{{\sqrt{2}}}{2}}）^2}$≤$\frac{1}{4}$…（10分）
即△ABC面積的最大值為$\frac{1}{4}$…（12分）

點(diǎn)評 本題考查的是解三角形，考查正、余弦定理，基本不等式的運(yùn)用，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．