【題目】如圖所示,四棱錐P﹣ABCD的底面是邊長為2的正方形,平面PAD⊥平面ABCD,PA⊥AD,∠PDA=45°,E,F分別為AB,PC的中點.
(1)證明:EF∥平面PAD;
(2)在線段BC上是否存在一點H,使平面PAH⊥平面DEF?若存在,求此時二面角C﹣HD﹣P的平面角的正切值:若不存在,說明理由.
【答案】(1)證明見解析(2)存在,正切值為
【解析】
(1)取中點,連接,,則是的中位線,推導(dǎo)出是平行四邊形,從而,由此能證明平面;
(2)當(dāng)為中點時,,推導(dǎo)出平面,平面平面,過點作于點,則為二面角的平面角的補角,由此能求出二面角的平面角的正切值.
(1)證明:取PD中點M,連結(jié)AM,FM,
則MF是△PCD的中位線,
∴MF∥CD,且MF,
又四邊形ABCD是正方形,則AE∥CD,
且E為AB中點,則AEABCD,
∴AE∥MF,且AE=MF,∴AMFE是平行四邊形,
∴EF∥AM,
又AM平面PAD,EF平面PAD,
∴EF∥平面PAD.
(2)解:在正方形中,取H為BC中點,為的中點,易證ED⊥AH,
又∵AP⊥ED,且AP,AH為平面APH內(nèi)兩相交直線,
∴ED⊥平面PAH,
又ED平面DEF,∴平面EFD⊥平面PAH,
此時,過點A作AG⊥DH于點G,
則∠PGA為二面角C﹣HD﹣P的平面角的補角,
由,則AG,tan∠AGP,
∴二面角C﹣HD﹣P的平面角的正切值為.
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【題目】如圖,四棱錐中,四邊形是邊長為2的菱形,
(1)證明:平面平面;
(2)當(dāng)平面與平面所成銳二面角的余弦值,求直線與平面所成角正弦值.
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【題目】已知函數(shù),下列命題:
①的定義域為;
②是奇函數(shù);
③在上單調(diào)遞增;
④若實數(shù)滿足,則;
⑤設(shè)函數(shù)在上的最大值為,最小值為,則.
其中真命題的序號是______.(寫出所有真命題的序號)
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【題目】已知函數(shù)f(x)=2cosxsin(x+2φ)為偶函數(shù),其中φ∈(0,),則下列關(guān)于函數(shù)g(x)=sin(2x+φ)的描述正確的是( )
A.g(x)在區(qū)間[]上的最小值為﹣1
B.g(x)的圖象可由函數(shù)f(x)的圖象向上平移一個單位,再向右平移個單位長度得到
C.g(x)的圖象的一個對稱中心為(,0)
D.g(x)的一個單調(diào)遞增區(qū)間為[0,]
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【題目】設(shè)遞增等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn,且a2=3,S3=13,數(shù)列{bn}滿足b1=a1,點P(bn,bn+1)在直線x﹣y+2=0上,n∈N*.
(1)求數(shù)列{an},{bn}的通項公式;
(2)設(shè)cn,求數(shù)列{cn}的前n項和Tn.
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【題目】已知函數(shù),其定義域為.(其中常數(shù),是自然對數(shù)的底數(shù))
(1)求函數(shù)的遞增區(qū)間;
(2)若函數(shù)為定義域上的增函數(shù),且,證明: .
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【題目】隨著新政策的實施,海淘免稅時代于2016年4月8日正式結(jié)束,新政策實施后,海外購物的費用可能會增加.為了解新制度對海淘的影響,某網(wǎng)站調(diào)查了喜歡海淘的1000名網(wǎng)友,其態(tài)度共有兩類:第一類是會降低海淘數(shù)量,共有400人,第二類是不會降低海淘數(shù)量,共有600人,若從這1000人中按照分層抽樣的方法抽取10人后進行打分,其打分的莖葉圖如下圖所示,圖中有數(shù)據(jù)缺失,但已知“第一類”和“第二類”網(wǎng)民打分的均值相等,則“第一類”網(wǎng)民打分的方差為( )
A.159B.179C.189D.209
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【題目】設(shè)函數(shù)的圖象為C,下面結(jié)論正確的是( )
A.函數(shù)f(x)的最小正周期是2π.
B.函數(shù)f(x)在區(qū)間上是遞增的
C.圖象C關(guān)于點對稱
D.圖象C由函數(shù)g(x)=sin2x的圖象向左平移個單位得到
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