【題目】如圖，四棱錐中，四邊形是邊長(zhǎng)為2的菱形，

（1）證明：平面平面；

（2）當(dāng)平面與平面所成銳二面角的余弦值，求直線(xiàn)與平面所成角正弦值.

【答案】（1）見(jiàn)解析（2）

【解析】

（1）過(guò)D作，垂直為O，連接，利用勾股定理證得，結(jié)合，證得平面，即可得到平面平面；

（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求出兩平面的法向量，通過(guò)計(jì)算法向量的夾角的余弦值，求得的長(zhǎng)，再結(jié)合線(xiàn)面角的定義，即可求解.

（1）過(guò)D作，垂直為O，連接，

在中，，，可得，

在中，

由余弦定理可得，

所以，

因?yàn)?/span>，所以為等邊三角形，所以，

所以，可得，又由，且，

所以平面，又平面，所以平面平面.

（2）由（1）知，以O為原點(diǎn)，，，方向分別為x，y，z軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系

設(shè)，則，，，，

所以，

設(shè)平面的法向量為，則，即

令，，

平面的法向量為，

由，解得

因?yàn)?/span>平面，所以為與平面所成的角，所以，

即直線(xiàn)與平面所成角正弦值.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù)．

（Ⅰ）若，求的單調(diào)性和極值；

（Ⅱ）若函數(shù)至少有1個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍．

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【題目】已知正四棱錐的底面邊長(zhǎng)和高都為2.現(xiàn)從該棱錐的5個(gè)頂點(diǎn)中隨機(jī)選取3個(gè)點(diǎn)構(gòu)成三角形，設(shè)隨機(jī)變量表示所得三角形的面積.

（1）求概率的值；

（2）求隨機(jī)變量的概率分布及其數(shù)學(xué)期望.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】2013年華人數(shù)學(xué)家張益唐證明了孿生素?cái)?shù)猜想的一個(gè)弱化形式。孿生素?cái)?shù)猜想是希爾伯特在1900年提出的23個(gè)問(wèn)題之一，可以這樣描述：存在無(wú)窮多個(gè)素?cái)?shù)p，使得p+2是素?cái)?shù)，素?cái)?shù)對(duì)(p，p+2)稱(chēng)為孿生素?cái)?shù)．在不超過(guò)30的素?cái)?shù)中，隨機(jī)選取兩個(gè)不同的數(shù)，其中能夠組成孿生素?cái)?shù)的概率是

A. B. C. D.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】某烘焙店加工一個(gè)成本為60元的蛋糕，然后以每個(gè)120元的價(jià)格出售，如果當(dāng)天賣(mài)不完，剩下的這種蛋糕作餐廚垃圾處理.

（1）若烘焙店一天加工16個(gè)這種蛋糕，，求當(dāng)天的利潤(rùn)（單位：元）關(guān)于當(dāng)天需求量（單位：個(gè)，）的函數(shù)解析式；

（2）烘焙店記錄了100天這種蛋糕的日需求量（單位：個(gè)），整理得下表：

日需求量

14

15

16

17

18

19

20

頻數(shù)

10

20

16

16

15

13

10

①若烘焙店一天加工16個(gè)這種蛋糕，表示當(dāng)天的利潤(rùn)（單位：元），求的分布列與數(shù)學(xué)期望及方差；

②若烘焙店一天加工16個(gè)或17個(gè)這種蛋糕，僅從獲得利潤(rùn)大的角度考慮，你認(rèn)為應(yīng)加工16個(gè)還是17個(gè)？請(qǐng)說(shuō)明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】某城市對(duì)一項(xiàng)惠民市政工程滿(mǎn)意程度（分值：分）進(jìn)行網(wǎng)上調(diào)查，有2000位市民參加了投票，經(jīng)統(tǒng)計(jì)，得到如下頻率分布直方圖（部分圖）：

現(xiàn)用分層抽樣的方法從所有參與網(wǎng)上投票的市民中隨機(jī)抽取位市民召開(kāi)座談會(huì)，其中滿(mǎn)意程度在的有5人．

（1）求的值，并填寫(xiě)下表（2000位參與投票分?jǐn)?shù)和人數(shù)分布統(tǒng)計(jì)）；

滿(mǎn)意程度（分?jǐn)?shù)）

人數(shù)

（2）求市民投票滿(mǎn)意程度的平均分（各分?jǐn)?shù)段取中點(diǎn)值）；

（3）若滿(mǎn)意程度在的5人中恰有2位為女性，座談會(huì)將從這5位市民中任選兩位發(fā)言，求男性甲或女性乙被選中的概率．

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【題目】冠狀病毒是一個(gè)大型病毒家族，已知可引起感冒以及中東呼吸綜合征(MERS)和嚴(yán)重急性呼吸綜合征(SARS)等較嚴(yán)重疾病.而今年出現(xiàn)在湖北武漢的新型冠狀病毒(nCoV)是以前從未在人體中發(fā)現(xiàn)的冠狀病毒新毒株.人感染了新型冠狀病毒后常見(jiàn)體征有呼吸道癥狀發(fā)熱咳嗽氣促和呼吸困難等.在較嚴(yán)重病例中，感染可導(dǎo)致肺炎嚴(yán)重急性呼吸綜合征腎衰竭，甚至死亡.某醫(yī)院為篩查冠狀病毒，需要檢驗(yàn)血液是否為陽(yáng)性，現(xiàn)有份血液樣本，有以下兩種檢驗(yàn)方式：

方式一：逐份檢驗(yàn)，則需要檢驗(yàn)n次.

方式二：混合檢驗(yàn)，將其中且k≥2)份血液樣本分別取樣混合在一起檢驗(yàn).若檢驗(yàn)結(jié)果為陰性，這k份的血液全為陰性，因而這k份血液樣本只要檢驗(yàn)一次就夠了，如果檢驗(yàn)結(jié)果為陽(yáng)性，為了明確這k份血液究竟哪幾份為陽(yáng)性，就要對(duì)這k份再逐份檢驗(yàn)，此時(shí)這k份血液的檢驗(yàn)次數(shù)總共為k+1.

假設(shè)在接受檢驗(yàn)的血液樣本中，每份樣本的檢驗(yàn)結(jié)果是陽(yáng)性還是陰性都是獨(dú)立的，且每份樣本是陽(yáng)性結(jié)果的概率為p(0<p<1).現(xiàn)取其中且k≥2)份血液樣本，記采用逐份檢驗(yàn)，方式，樣本需要檢驗(yàn)的總次數(shù)為，采用混合檢驗(yàn)方式，樣本需要檢驗(yàn)的總次數(shù)為.

（1）若，試求p關(guān)于k的函數(shù)關(guān)系式p=f(k).

（2）若p與干擾素計(jì)量相關(guān)，其中2)是不同的正實(shí)數(shù)，滿(mǎn)足x1=1且.

(i)求證：數(shù)列為等比數(shù)列；

(ii)當(dāng)時(shí)采用混合檢驗(yàn)方式可以使得樣本需要檢驗(yàn)的總次數(shù)的期望值比逐份檢驗(yàn)的總次數(shù)的期望值更少，求k的最大值.

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【題目】有報(bào)道稱(chēng)，據(jù)南方科技大學(xué)、上海交大等8家單位的最新研究顯示：A、B、O、AB血型與COVID﹣19易感性存在關(guān)聯(lián)，具體調(diào)查數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如圖：

根據(jù)以上調(diào)查數(shù)據(jù)，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（ ）

A.與非O型血相比，O型血人群對(duì)COVID﹣19相對(duì)不易感，風(fēng)險(xiǎn)較低

B.與非A型血相比，A型血人群對(duì)COVID﹣19相對(duì)易感，風(fēng)險(xiǎn)較高

C.與O型血相比，B型、AB型血人群對(duì)COVID﹣19的易感性要高

D.與A型血相比，非A型血人群對(duì)COVID﹣19都不易感，沒(méi)有風(fēng)險(xiǎn)

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】直線(xiàn)與圓相交于兩點(diǎn),當(dāng)的面積達(dá)到最大時(shí),________.

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