Question

7．設(shè)函數(shù)f（x）=ax³-3x+1（x∈R），若對(duì)于任意x∈（0，1]，都有f（x）≥0成立，則實(shí)數(shù)a取值范圍是a≥4．

Answer 1

分析 利用參數(shù)分類(lèi)法進(jìn)行展會(huì)構(gòu)造函數(shù)g（x）=$\frac{3}{{x}^{2}}$-$\frac{1}{{x}^{3}}$，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求出函數(shù)的最值即可得到結(jié)論．

解答 解：當(dāng)x＞0即x∈（0，1]時(shí)，f（x）=ax³-3x+1≥0可化為：
a≥$\frac{3}{{x}^{2}}$-$\frac{1}{{x}^{3}}$，
設(shè)g（x）=$\frac{3}{{x}^{2}}$-$\frac{1}{{x}^{3}}$，則g′（x）=$\frac{3（1-2x）}{{x}^{4}}$，
所以g（x）在區(qū)間（0，$\frac{1}{2}$]上單調(diào)遞增，在區(qū)間[$\frac{1}{2}$，1]上單調(diào)遞減，
因此g（x）_max=g（$\frac{1}{2}$）=4，從而a≥4；
故答案為：a≥4

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)恒成立問(wèn)題，利用參數(shù)分離法，進(jìn)行轉(zhuǎn)化，構(gòu)造函數(shù)求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)法是解決本題的關(guān)鍵．