Question

【題目】如圖，在多面體中，平面，四邊形為菱形，四邊形為梯形，且，，，，M為線段的中點.

（1）求證：平面；

（2）求平面將多面體分成的兩個部分的體積之比.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】

（1）延長交于點G，連接,易證,可得，

可得四邊形為平行四邊形，可得，平面；

（2）分別計算出三棱柱的體積與三棱錐的體積，可得體積之比.

證明：延長交于點G，連接,

.

由，M為中點，易證，

所以.

因為，所以.

由已知，且，又，

所以，且，

所以四邊形為平行四邊形，所以.

因平面，平面，

所以平面.

（2）解：由（1）可得，多面體被平面分成的兩個部分是三棱錐和三棱柱.

因為平面，又平面，所以.

又易得，所以平面.

所以即為三棱柱的高.

所以三棱柱的體積，

又易得三棱錐的體積，

所以多面體被分成的兩個部分體積比為.